Grupa Lorentza

Grupa Lorentza – grupa transformacji układu współrzędnych 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, takich że interwały czasoprzestrzenne nie ulegają zmianie, przy czym początek układu współrzędnych pozostaje bez zmian.

Transformacje Lorentza są więc izometriami w 4-wymiarowej przestrzeni, która jest przestrzenią pseudoeuklidesową, oraz stanowi podgrupę grupy Poincarégo (ta ostatnia dopuszcza także translacje początku układu współrzędnych).

Fundamentalne równania fizyki wykazują symetrię Lorentza, np.:

Symetria ta oznacza, że dokonując transformacji Lorentza z danego układu współrzędnych do innego, otrzyma się prawa fizyki wyrażone przez inne zmienne, ale postać algebraiczna tych praw pozostanie bez zmian; realizacja transformacji polega na zastąpieniu zmiennych w równaniach opisujących prawa fizyki przez zmienne takie że

gdzie – macierz transformacji Lorentza (patrz niżej).

Doniosłą rolę symetrii grupy Lorentza odkrył Einstein: formułując szczególną teorię względności, zapostulował, iż teorie fizyczne opisujące prawa przyrody powinny posiadać symetrię Lorentza i podał to jako warunek do konstruowania teorii fizycznych.

Powyżej wymienione teorie zakładają płaską czasoprzestrzeń, tj. opisaną diagonalnym tensorem metrycznym (patrz niżej). Dalszy rozwój teorii doprowadził do odkrycia ogólniejszych symetrii w ogólnej teorii względności oraz w kwantowej teorii pola. Np. w ogólnej teorii względności symetria Lorentza pozostała jedynie symetrią lokalną, tj. obowiązuje w na tyle małych obszarach, że można pominąć w nich zmianę pola grawitacyjnego.

Nazwa grupy pochodzi od holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza.

Macierze transformacji LorentzaEdytuj

Transformacje układów współrzędnych należące do transformacji Lorentza muszą spełniać warunki:

(1) Nie mogą deformować czasoprzestrzeni, co oznacza, że dopuszczalne są przekształcenia w ramach płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, której tensor metryczny   jest macierzą diagonalną

 

taką samą dla każdego punktu czasoprzestrzeni. Warunek ten jest równoważny założeniu, że odległość czasoprzestrzenną dwóch zdarzeń liczy się w każdym układzie inercjalnym według tej samej zasady: od kwadratów różniczek czasowych odejmuje się kwadraty różniczek przestrzennych.

Uwaga: Składowe kowariantne tensora metrycznego są identyczne jak składowe kontrawariantne, tj.

 

(2) Zachowują odległości w czasoprzestrzeni.

Tensor metryczny transformuje się przy przejściu do nowego układu współrzędnych zgodnie z prawami transformacji tensorów

 

Wymaganie, by tensor ten nie zmienił się oznacza, że

 

co implikuje warunek

 

Z powyższego wzoru wynika, że wyznacznik macierzy transformacji   wynosi   lub   gdyż wyznacznik lewej strony wynosi det g= -1, a wyznacznik prawej strony jest iloczynem (det g) (det L) (det L), stąd mamy

 

Macierze   spełniające powyższe warunki nazywa się macierzami Lorentza. Można pokazać, że macierz transformacji spełnia warunek

 

Oznacza to, że macierz Lorentza jest macierzą pseudoortogonalną.

Założenie, że tensor metryczny nie zależy od współrzędnych przestrzennych oznacza, że zakłada się płaską czasoprzestrzeń (czasoprzestrzeń Minkowskiego), opisywaną przez szczególną teorię względności, a pomija efekty jej zakrzywienia w wyniku grawitacji (wtedy tensor metryczny miałby składowe zależne od współrzędnych, np. rozwiązanie Schwarzschilda).

Transformacje Lorentza tworzą grupęEdytuj

Macierze transformacji Lorentza tworzą grupę macierzy zwaną grupą Lorentza, gdyż:

(a) działanie grupowe – polegające na sukcesywnym składaniu dwu lub większej liczby transformacji – daje w wyniku także jakąś transformację Lorentza

(a′) macierz transformacji będącej złożeniem kilku transformacji jest iloczynem macierzy odpowiadających tym transformacjom, np.

 

(b) w zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa, zadana macierzą jednostkową

 

transformacja ta oznacza pozostanie w tym samym układzie współrzędnych,

(c) do każdej transformacji istnieje transformacja odwrotna[1], np.

  • dla obrotów w przestrzeni jest to obrót w przeciwną stroną o ten sam kąt,
  • dla przejść do układu odniesienie poruszającego się np. z prędkością   transformacja odwrotna oznacza przejście do układu poruszającego się z prędkością przeciwną  

Rodzaje transformacji LorentzaEdytuj

Transformacje Lorentza obejmują[2]

  • obroty w przestrzeni,
  • odbicia przestrzenne (inwersje),
  • odwrócenie czasu,
  • właściwe transformacje Lorentza.

Obroty w przestrzeniEdytuj

Gdy ograniczy się do transformacji Lorentza, w których zmieniają się tylko trzy współrzędne przestrzenne, a nie zmienia się czas, to otrzyma się warunek, iż dopuszczalne są w ramach grupy Lorentza tylko obroty w przestrzeni – transformacje te tworzą grupę obrotów ortogonalnych   przestrzeni   – wymiarowej, przy czym grupa ta zwiera obroty właściwe oraz inwersje (odbicia osi układu współrzędnych – patrz niżej). Grupa   jest podgrupę grupy transformacji Lorentza. Macierz obrotów nie zmienia współrzędnej czasowej, stąd ma postać

 

Obroty bez inwersji – tzw. obroty właściwe – tworzą grupę specjalnych macierzy ortogonalnych   Obroty właściwe mają wyznacznik równy  

Odbicia przestrzenne (inwersje)Edytuj

Odbicia przestrzenne należą do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi   układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

 

Wyznacznik tej transformacji wynosi  

Odwrócenie czasuEdytuj

Odwrócenie czasu należy do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi   układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

 

Wyznacznik tej transformacji wynosi  

Uwaga: Symetria „odwrócenia czasu” jest własnością „geometryczną” czasoprzestrzeni: gdy czas potraktuje się jako jeden z wymiarów czasoprzestrzeni, to wykazuje ona ww. symetrię.

Ortogonalność 4-wektorów. Macierze pseudoortogonalneEdytuj

Czasoprzestrzeń jest przestrzenią pseudoeuklidesową, gdyż niezmiennicza odległość pomiędzy punktami czasoprzestrzeni dana jest nie jako sumę kwadratów różnic współrzędnych, ale dana jest wzorem  

Wynika stąd na przykład, że iloczyn skalarny dwóch czterowektorów   oblicza się ze wzoru

 

Dwa 4-wektory nazywa się ortogonalnymi, jeżeli zeruje się ich iloczyn skalarny. Przekształcenie liniowe przestrzeni pseudoeuklidesowej zachowujące iloczyn skalarny nazywa się pseudoortogonalnym – jest to rozszerzenie pojęcia przekształceń ortogonalnych znanego z przestrzeni euklidesowych. Macierz   takiego przekształcenia jest w ogólnym przypadku macierzą pseudoortogonalną, tj. taką że

 

gdzie   – tensor metryczny czasoprzestrzeni.

Właściwe transformacje LorentzaEdytuj

Właściwe transformacje Lorentza otrzymuje się, gdy ograniczy się do transformacji mieszających czas z jedną składową przestrzenną, a pominie obroty układu w przestrzeni, inwersje oraz odwrócenie czasu. Sytuacja taka zachodzi, gdy dokonujemy transformacji do układu poruszającego się względem danego układu. Np. dla ruchu w kierunku osi   macierz transformacji ma postać

 

gdzie współczynniki   są stałymi liczbami. Powyższa macierz jest macierzą przekształcenia liniowego współrzędnych czasowej i przestrzennej   na współrzędne   w układzie poruszającym się, przy pozostałych współrzędnych pozostawionych bez zmian

Macierz pseudoortogonalna właściwych transformacji LorentzaEdytuj

Warunek niezmienności interwału definiuje grupę obrotów hiperbolicznych   której elementy są reprezentowane za pomocą macierzy pseudoortogonalnych. Aby wykazać, że własność tę posiadają macierze właściwych transformacji Lorentza ograniczmy macierz transformacji do macierzy   x  

 

przy czym pierwsza kolumna odpowiada za transformacje współrzędnej czasowej, a druga odpowiada za transformacje współrzędnej. Niezmienność interwału implikuje, że muszą zachodzić warunki

 
 
 

Z dokładnością do znaku rozwiązanie powyższego układu równań ma postać

 

Łatwo to sprawdzić, wiedząc, że dla funkcji hiperbolicznych słuszna jest tożsamość

 

Powyższą macierz transformacji nazywa się macierzą obrotu hiperbolicznego – określa ją jeden ciągły parametr   który pełni rolę kąta obrotu analogiczną do roli parametrów określających zwykły obrót w płaszczyźnie. Macierze tego typu tworzą grupę   (zaś macierze obrotu w przestrzeni tworzą grupę macierzy ortogonalnych  ).

Można łatwo sprawdzić, że powyższa macierz spełnia warunek

 

a więc jest to macierz pseudoortogonalna. Nie jest to jednak macierz ortogonalna, gdyż

 

Parametryzacja transformacji LorentzaEdytuj

Transformację Lorentza można teraz zapisać jako

 

Parametr   jest związany ze współrzędną   prędkości drugiego układu O′ względem układu początkowego O zależnością

 

Powyższa parametryzacja jest poprawna, gdyż tangens hiperboliczny ma wartości

 

co odpowiada warunkowi,

 

– zgodnie z tym, że prędkość jest zawsze mniejsza niż prędkość światła. Wyrażając   przez   otrzyma się jawną postać tej transformacji Lorentza dla ruchu układu   w kierunku osi  

 
 
 
 

przy czym  

Łatwo sprawdzić, że wyznacznik powyższej transformacji wynosi   To samo dotyczy wszystkich właściwych transformacji Lorentza.

Uwaga: Parametr   dlatego grupa Lorentza nie jest zwarta ze względu na pchnięcia Lorentza – macierze odpowiadające tym transformacjom, są symetryczne (tak jest dla obrotów hiperbolicznych – zwykłe obroty są reprezentowane przez macierze ortogonalne).

Generatory macierzy transformacji LorentzaEdytuj

Definicja generatoraEdytuj

Generator związany z daną macierzą   zależną od parametru   definiuje się jako pochodną po tym parametrze, obliczoną dla  

 

gdzie   – dowolna liczba zespolona (liczbę   przyjmuje się tak, by inne wzory teorii miały wygodną postać). Generator jest macierzą. Macierz   wyraża się za pomocą eksponenty generatora z odpowiednim współczynnikiem, tj.

 

PrzykładEdytuj

Dla macierzy

 

przyjmuje się postać generatora

 

Ponieważ

 
 

to otrzymuje się

 

Wtedy

 

Uwaga: Liczby zespolone w definicji generatorów przyjęto dla uproszenia innych wzorów teorii. Z powyższego przykładu widać, że np. generator   mnożony przez   daje macierz rzeczywistą w wykładniku wzoru   Analogicznie jest dla innych generatorów, które omówiono poniżej. Powinno tak być, gdyż macierze transformacji Lorentza są macierzami o współrzędnych rzeczywistych, a taką macierz można otrzymać jedynie z eksponenty macierzy rzeczywistej.

Parametry grupy Lorentza. GeneratoryEdytuj

Grupa transformacji Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów, które omówiono poniżej.

Generatory obrotów w przestrzeniEdytuj

(a) Trzy parametry   związane są z obrotami w przestrzeni, którym odpowiadają trzy niezależny generatory obrotów wokół osi  (por. grupa obrotów)

 

Generatory te mają postacie:

 

(b) Macierz dowolnego obrotu w przestrzeni 3D – wokół osi przechodzącej przez punkt początkowy układu współrzędnych i zadanej wektorem   wyraża się za pomocą tych generatorów wzorem

 

gdzie:

 
  – wektor, utworzony z generatorów obrotu.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą antysymetryczną (czynnik   mnożony przez czynnik   występujący w generatorach   daje 1) – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz ortogonalną. Macierz ta jest wiec faktycznie macierzą obrotu w 3-wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni Minkowskiego.

Generatory pchnięć LorentzaEdytuj

Trzy parametry związane są z trzema generatorami właściwych transformacji Lorentza

 

odpowiadających przejściom do układów współrzędnych poruszających się względem danego układu z prędkościami skierowanymi wzdłuż osi  

(a) Np. właściwa transformacja Lorentza wzdłuż osi   ma postać

 

Macierz tej transformacji można przedstawić w postaci

 

gdzie:

 

jest generatorem tej macierzy.

(b) Analogicznie mamy dla przejść do układów poruszających się wzdłuż osi   oraz  

 

(c) Ogólną macierz transformacji Lorentza związaną z przejściem do innego układu inercjalnego, poruszającego się w kierunku wskazanym za pomocą wektora   wyraża się wzorem

 

gdzie:

 
  – wektor, utworzony z generatorów pchnięć Lorentza.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą symetryczną – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz w ogólności pseudoortogonalną. Macierz ta jest wiec macierzą obrotu w przestrzeni Minkowskiego.

Ogólna macierz transformacjiEdytuj

Ogólną transformację, złożoną z obrotów układu współrzędnych w przestrzeni oraz pchnięć Lorentza, definiuje wyrażenie

 

Macierz generatorów  Edytuj

(a) Z sześciu generatorów grupy (trzech   i trzech  ) można zbudować antysymetryczną macierz generatorów   przyjmując:

 
 

(b) Twierdzenie:

Generatory Lorentza   tworzą algebrę Liego grupy transformacji Lorentza o komutatorze[3]

 

gdzie  

Zobacz teżEdytuj

Grupy transformacji fizycznych

Pojęcia matematyczne

Pojęcia ogólne fizyki

Uczeni

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 50–66, 139–154.
  • Padmanabhan T., Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016, s. 201–206 (książka dostępna on line tutaj).