Grupa alternująca

Grupa alternująca (rzadziej: grupa naprzemienna) – grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.

DefinicjaEdytuj

Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu   danego wzorem

 

Dla grupy symetrycznej rzędu   mówimy również o grupie alternującej stopnia  . Grupę taką oznacza się symbolami   lub  

Przykłady i własnościEdytuj

  • Grupą alternującą stopnia 4 jest
     
w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a jest (w ogólności) fałszywe.
  • Dla   grupa   jest podgrupą normalną grupy symetrycznej   o   elementach.
  • Grupa   jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy   jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy   lub  
  •   (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.
  • Podgrupa alternująca   jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj