Grupa bijekcji

Grupa bijekcjigrupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).

Grupy te nazywa się również grupami symetrycznymi, choć często rozumie się przez to grupy permutacji (czyli bijekcji zbiorów skończonych). Grupy bijekcji zbioru oznaczane są często[1] choć stosuje się też inne oznaczenia, np. [2], czy

Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru wynosi w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.

PrzykładyEdytuj

Jeśli   jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu,   (bijekcji pustej). Gdy   jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż  

PrzypisyEdytuj

  1. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5.
  2. Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.