Otwórz menu główne
Płatki śniegu przejawiają symetrię dwuścienną sześciokąta foremnego.

Grupa diedralna[a]grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Ponieważ dla grupa symetrii -kąta foremnego ma elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji. Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od liczby naturalne: jeśli to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną (jedyną grupą tego rzędu); dla przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatoryEdytuj

 
Grupa diedralna trójkąta równobocznego składa się z trzech obrotów (o 120°, 240° i 360°) wokół środka tego trójkąta zamieniających cyklicznie kolory wierzchołków i trzech symetrii osiowych (przechodzących przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku) zamieniających kolory dwóch wierzchołków przy zachowaniu koloru trzeciego – można wyobrażać je sobie jako obrót o 180° wokół osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech   oraz   oznacza obrót płaszczyzny o kąt   wokół ustalonego jej punktu   zaś   będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez   Ponieważ  -krotne złożenie   ze sobą jest w istocie obrotem o   w szczególności  -krotne złożenie   jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn.   to   jest elementem rzędu   grupy   Podobnie   jest elementem rzędu drugiego, gdyż   (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu   z symetrią osiową   można myśleć na kilka sposobów:

  • symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób
 
  • z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.
 
  • podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość
 
mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla   grupa   nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy  

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie; ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu   można uzyskać   obrotów (wliczając w to sam obrót   i obrót trywialny  ) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię   z tymi obrotami otrzymuje się   symetrii (wliczając w to symetrię   przy obrocie trywialnym  ), to grupa tych przekształceń ma   elementów postaci   gdzie   oraz  

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii  -kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót   rzędu   i symetrię   rzędu   bądź przez dwie symetrie   rzędu  [b].

Własności i charakteryzacjaEdytuj

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia  [c]:

  • dla nieparzystego:
     
  • dla parzystego:
     
 
Parzyste izometrie własne foremnego dwuścianu sześciokątnego na sferze (tj. przedstawionego jako wielościan sferyczny) tworzą grupę o tej samej strukturze, co grupa wszystkich izometrii własnych sześciokąta foremnego.

Klasy te mają odpowiednio   oraz   elementów. Dla   centrum grupy   jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe   w przypadku parzystym[d]. Wynika stąd, że jeśli   jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to  [e][f]; w ogólności   jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym   Komutant grupy   to  [g][h].

Jeśli   (z elementem neutralnym  ), gdzie   dla pewnego   oraz   a ponadto   to istnieje epimorfizm   jeśli   to epimorfizm ten jest izomorfizmem[i]. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem   jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji   w postaci grupy macierzy stopnia   nad   mianowicie zbiór macierzy

 

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej   grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad   postaci   gdzie   a wyraz   jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją   jako podgrupy   w postaci izometrii własnych   generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

 

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia   oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z  

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu   Niech   przy czym   Jeśli   oraz   komutują (tzn.  ), to   – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile   w przeciwnym przypadku   jest grupą cykliczną rzędu   Jeżeli   i   nie komutują, to   ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli   jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu   to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć ogólną definicję grupy diedralnej jako grupy skończonej generowanej przez dwa elementy drugiego rzędu; ponadto większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla   a nie tylko   – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu   nad   ponadto   nie można wtedy zanurzyć w   gdyż   dla   W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy   rzędu   element   musi być sprzężony z   bądź   i   komutują ze wspólnym elementem rzędu   Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrupEdytuj

Dowolna podgrupa grupy   jest:

  • cykliczna, postaci   gdzie   i indeksu   bądź
  • diedralna, postaci   gdzie   oraz   i indeksu  

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli   jest nieparzysta i   to istnieje   podgrup   indeksu   dla nieparzystej   (sprzężonych z  ) oraz jedna podgrupa   indeksu   dla parzystego   (równej  ), a ponadto jeżeli   jest parzysta i   to

  • jeśli   jest nieparzysta, to istnieje   podgrup grupy   indeksu   (sprzężonych z  ),
  • jeśli   jest parzysta i nie dzieli   to istnieje tylko jedna podgrupa grupy   indeksu   (równa  ),
  • jeśli   jest parzysta i   to istnieje   podgrup grupy   indeksu   (i dowolna podgrupa indeksu   jest równa   bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup   lub  ).

Wynika stąd, że jeżeli   jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w    dla   − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli   jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w    indeksu   gdy   oraz   i   indeksu   W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w   poza trzema podgrupami normalnymi   indeksu   dla parzystego   Łączna liczba podgrup w   dla   wynosi   gdzie   oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby   zaś   oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).

UwagiEdytuj

  1. Od łac. dihedron, gr. δίεδρον diedron: di-, „dwu-, podwójny” oraz gr. -edron, od ἕδρα edra, „siedzisko, siedlisko, siedziba; siedzenie, miejsce, pozycja; pośladki, kuper; ściana bryły (geom.)”.
    Niepoprawnie: *dihedralna (za ang. diherdal; -hedral od nowołac. hedron, z gr. jw.) – w polszczyźnie temat został zapożyczony bezpośrednio z greki i z tego powodu nie zawiera „h”, por. tetraedr, heksaedr, oktaedr.
  2. Dokładniej, ponieważ   to każdy element grupy diedralnej można przedstawić za pomocą   i  
  3. Każdy obrót jest sprzężeniem swojej odwrotności:   Wzory   i   przy zmiennym   pokazują, że   są jedynymi elementami sprzężonymi do   Znalezienie klasy sprzężoności   wymaga obliczeń   i   dla różnych   element   jest odbiciem, w którym w wykładniku   występuje liczba podzielna przez   Jeżeli   jest nieparzysta, to każda liczba całkowita modulo   jest wielokrotnością   stąd   a więc każde odbicie jest sprzężone z   dla nieparzystego   Jeśli jednak   jest parzyste, to tylko połowa odbić jest sprzężonych z   druga połowa jest sprzężona z   otóż   oraz   dają przy zmiennym   zbiór  
  4. Wynika to z faktu, iż do centrum należą wyłącznie elementy należące do jednoelementowych klas sprzężoności.
  5. Korzystając z własności iloczynu kompleksowego: niech   zaś   oznacza centrum   będące w niej podgrupą normalną; wynika stąd, że   jest podgrupą   i z definicji elementy   komutują z elementami   Przekształcenie   dane wzorem   jest homomorfizmem, ze względu na to, że   jest centrum   jego jądrem jest trywialne przecięcie   stąd   Istotnie, jeśli   to   bądź   dla pewnego   przy czym oba przypadki są niemożliwe: pierwszy pociąga   co daje sprzeczność ze względu na parzystość   oraz   i nieparzystość   drugi jest niedorzecznością w postaci   będącego potęgą   Ponieważ   jest różnowartościowe i rząd (moc zbioru)   wynosi   równy rzędowi (mocy)   to   jest izomorfizmem.
  6. Jeśli   jest podzielne przez   to przedstawiony izomorfizm nie istnieje: jeśli   i   są parzyste, to centrum   jest grupą cykliczną rzędu   zatem centrum   jest iloczynem prostym dwóch grup cyklicznych rzędu 2; ze względu na nieizomorficzność jąder  
  7. Komutator   tej postaci oznacza, że   zawiera się w komuntancie. Aby uzyskać równość można pokazać bezpośrednio, że komutator zawiera się w   innym sposobem jest znalezienie ilorazu   będącego grupą abelową – wówczas wszystkie komutatory z   są trywialne w   a więc wszystkie komutatory z   leżą w   Grupa   jest normalna (sprzężenia potęg   są potęgami tego elementu lub jego odwrotności, które należą do  ), abelowa (ma rząd 4 i reprezentację   izomorficzną z grupą czwórkową, gdzie   ponieważ   gdyż  ), dzięki czemu   jest abelowa.
  8. Jeśli   jest nieparzysta, to  
  9. Warunki   oraz   nie oznaczają, że elementy   mają rzędy odpowiednio   lecz że są dzielnikami tych liczb.