Grupa modularna

Grupa modularna $\Gamma$ (Gamma) – grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, teorii reprezentacji i geometrii algebraicznej. $\Gamma$ można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy.

Definicja

Grupa modularna $\Gamma$ zdefiniowana jest jako zbiór liniowych przekształceń ułamkowych (przekształceń Möbiusa) górnej półpłaszczyzny zespolonej na siebie,

$f(\tau )={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},$

gdzie $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ oraz $ad-bc=1.$

Działaniem grupowym jest składanie funkcji. $\Gamma$ jest izomorficzna jako grupa ze specjalną rzutową grupą liniową ${\mbox{PSL}}(2,\mathbb {Z} ),$ która jest ilorazem 2-wymiarowej specjalnej grupy liniowej nad liczbami całkowitymi ${\mbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )$ przez jej centrum $\{I,-I\}.$ Innymi słowy, ${\mbox{PSL}}(2,\mathbb {Z} )$ jest grupą macierzy (działaniem jest mnożenie) postaci

$M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

gdzie $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ oraz $\det \ M=ad-bc=1,$ przy czym utożsamiamy ze sobą macierze $A$ i $-A.$