Grupa odbić

Grupa odbić – dyskretna grupa odwzorowań generowana przez symetrie względem hiperpowierzchni przestrzeni euklidesowej $E^{n}$ lub przestrzeni hiperbolicznej $H^{n}$ lub innej jednospójnej przestrzeni Riemanna o stałej krzywiźnie.

Historia pojęcia

U źródeł tego pojęcia były badania wielokątów foremnych i parkietaży na płaszczyźnie i na sferze. W drugiej połowie XIX wieku badania te były rozszerzone na przypadek n-wymiarowy oraz na płaszczyznę hiperboliczną (w związku z badaniami nad analizą zespoloną). W latach 1925–1927 w pracach H. Weyla i E. Cartana grupy odbić pojawiły się jako grupy Weyla półprostych grup Lie. Potem udowodniono, że grupy Weyla to są te grupy odbić w $E^{n},$ które mają dokładnie jeden punkt stały i można je w pewnej bazie zapisać za pomocą macierzy całkowitoliczbowych, a afiniczne grupy Weyla to dokładnie te grupy odbić w $E^{n},$ które mają ograniczony wielościan fundamentalny. W roku 1934 H. S. M. Coxeter znalazł wszystkie grupy odbić przestrzeni euklidesowej $E^{n}$ i sfery n-wymiarowej $S^{n}.$

Podstawowe wyniki teorii grup odbić

• Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia r_i względem hiperpowierzchni H_i, ograniczających wielościan fundamentalny P tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:
  1. jeśli ściany $H_{i}\cap P$ i $H_{j}\cap P$ przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy $\alpha _{ij},$ to ${r_{i}r_{j}}^{n_{ij}}=1,$ gdzie $n_{ij}={\frac {\pi }{\alpha _{ij}}},$
  2. jeśli ściany $H_{i}\cap P$ i $H_{j}\cap P$ nie przylegają do siebie, to $n_{ij}=\infty .$
• Każda grupa odbić w $E^{n}$ jest (jako grupa ruchów) iloczynem prostym grupy trywialnej w przestrzeni euklidesowej pewnego wymiaru i grup ruchów dwóch następujących typów:
  1. skończona grupa odbić, której wielościanem fundamentalnym jest stożek symplicjalny; można ją rozpatrywać jako grupę odbić na sferze o środku w wierzchołku stożka fundamentalnego; jej wielościanem fundamentalnym będzie wtedy sympleks sferyczny.
  2. nieskończona grupa odbić, której wielościanem fundamentalnym jest sympleks.

Bibliografia

• Coxeter H.S.M. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588–621, 1934. 
• Coxeter H.S.M., Moser W.O.J.: Generators and Relations for discrete Groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.brak strony w książce