Grupa okręgu

Grupa okręgupodgrupa grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;

W grupie jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.

Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiednio, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).

Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z torusem (2-torusem ), a zatem okrąg może być interpretowany jako 1-torus, skąd pochodzi oznaczenie

WłasnościEdytuj

 
Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module  
Dowód. Odwzorowanie   dane wzorem   jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest   Podgrupa   grupy   jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie   dane wzorem   gdzie   jest homeomorficznym izomorfizmem grup.
 
przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.

Dualność Pontriagina pomiędzy grupą okręgu a grupą liczb całkowitychEdytuj

Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do   złożona z ciągłych homomorfizmów do   jest dyskretna. Co więcej

 

a zatem z dualności Pontriagina także

 

Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów w analizie harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm   jest postaci

 

dla pewnej liczby rzeczywistej   Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm   jest postaci   dla pewnego   W szczególności, grupa dualna do   jest izomorficzna z  

Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych   wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z   do  

Niech   będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech   będzie jego podniesieniem do   tj.   Wówczas   dla pewnego   W szczególności, gdy   to   skąd   musi być liczbą całkowitą, co kończy dowód.

BibliografiaEdytuj