Grupa rozwiązalnagrupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia:

DefinicjaEdytuj

Grupa   jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup

 

takich, że dla każdego   są spełnione warunki:

Warunki równoważneEdytuj

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa   jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy   dla pewnej liczby  

gdzie   oznacza  -tą pochodną grupy   Najmniejszą taką liczbę   nazywa się stopniem rozwiązalności grupy  

Jeżeli grupa   jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy  grupami cyklicznymi rzędu będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.

WłasnościEdytuj

  • Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
  • Jeśli   i grupa   jest rozwiązalna, to iloraz   również jest grupą rozwiązalną.
  • Jeżeli   oraz grupy   i   są rozwiązalne, to   również jest grupą rozwiązalną.
  • Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
  • Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.

PrzykładyEdytuj

  • Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
  • Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
  • p-grupy są rozwiązalne.
  • Grupa permutacji Sn jest rozwiązalna dla   i nie jest rozwiązalna dla  
  • Grupa alternująca   jest nieabelową grupą rozwiązalną.   gdzie   oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz   ponadto   skąd   jest rozwiązalna.
  • Nierozwiązalną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca  
  • Każda nieabelowa grupa prosta   nie jest rozwiązalna, ponieważ   a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.

TwierdzeniaEdytuj

Twierdzenie Feita-Thompsona
Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.
Twierdzenie Burnside’a
Każda grupa rzędu   jest rozwiązalna, gdzie   są liczbami pierwszymi, a   – nieujemnymi liczbami całkowitymi.

BibliografiaEdytuj