Grupa torsyjna

grupa, której wszystkie elementy mają skończony rząd

Grupa torsyjna a. periodycznagrupa, w której wszystkie jej elementy są skończonego rzędu. Wszystkie grupy skończone są torsyjne. Pojęcia periodyczności grupy nie należy mylić z jej cyklicznością, choć wszystkie skończone grupy cykliczne są periodyczne.

Wykładnikiem grupy torsyjnej nazywa się najmniejszą wspólną wielokrotność rzędów elementów Każda grupa skończona ma wykładnik: jest on dzielnikiem rzędu grupy

Klasycznym pytaniem o związek między grupami torsyjnymi i grupami skończonymi przy wyłącznym założeniu, że jest grupą skończenie generowaną, jest problem Burnside’a: czy wskazanie wykładnika grupy implikuje jej skończoność? (ogólna odpowiedź jest negatywna).

Elementy skończonego rzędu dowolnej grupy tworzą podgrupę nazywaną częścią torsyjną. Grupę beztorsyjną nazywa się grupę, której jedynym elementem skończonego rzędu jest element neutralny. Istnieją więc grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne – nazywa się je grupami mieszanymi; jedyną grupą jednocześnie torsyjną i beztorsyjną jest grupa trywialna.

RozkładEdytuj

Ważnym twierdzeniem jest fakt, iż grupę torsyjną   można rozłożyć na sumę prostą p-grup   dla różnych liczb pierwszych   przy czym   są wyznaczone jednoznacznie przez   W ten sposób teoria grup torsyjnych redukuje się do teorii p-grup. Podgrupę   nazywa się p-składową grupy  [a].

PrzykładyEdytuj

Nieskończonymi przykładami grup torsyjnych są:

Żaden z tych przypadków nie ma skończonego zbioru generatorów. Jawne postaci skończenie generowanych grup torsyjnych zostały skonstruowane przez Gołoda, na podstawie wspólnej pracy z Szafarewiczem oraz przez Aleshina i Grigorchuka za pomocą automatów.

Grupami beztorsyjnymi są:

Grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne (tzn. zawierają elementy zarówno skończonego, jak i nieskończonego rzędu), to np.:

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Jeżeli   nie jest torsyjna, to jej p-składową nazywa się często p-składową jej części torsyjnej   nawet, gdy nie są one składnikami prostymi  

Linki zewnętrzneEdytuj