Grupa z operatorami

Grupa z operatorami lub -grupastruktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeń o izomorfizmie.

DefinicjaEdytuj

Grupa z operatorami   to grupa   z rodziną funkcji  

 

które są rozdzielne względem działania grupowego.   nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami  

Obraz elementu   grupy przy funkcji   oznacza się   Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

 

Podgrupa   grupy   nazywana jest podgrupą stabilną,  -podgrupą lub podgrupą  -niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

 

Uwagi teoriokategoryjneEdytuj

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów   gdzie   jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a   oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

 

gdzie   jest zbiorem endomorfizmów grupowych  

PrzykładyEdytuj

  • Dla danej grupy   struktura   jest w sposób trywialny grupą z operatorami,
  • Dla danego  -modułu   grupa   działa na dziedzinie operatorów   przez mnożenie przez skalar. Dokładniej: każda przestrzeń liniowa jest grupą z operatorami.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj