H-nieskończoność

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
Układy statyczne - Układy dynamiczne
Układy liniowe - Układy nieliniowe
Układy stacjonarne - Układy niestacjonarne
Układy deterministyczne - Układy stochastyczne
Układy o parametrach skupionych - Układy o parametrach rozłożonych
Układy ciągłe - Układy dyskretne


Wybrane typy regulacji
Regulacja stałowartościowa
Regulacja nadążna
Regulacja optymalna
Regulacja adaptacyjna


Metody klasyczne
Opis typu wejście-wyjście
Stabilność
Transmitancja
Charakterystyki czasowe
Regulacja PID
Charakterystyki częstotliwościowe
Linie pierwiastkowe
Korekcja fazy


Nowoczesna teoria sterowania
Równania stanu - Stan układu
Sterowalność - Przesuwanie biegunów
Regulator liniowo-kwadratowy
Obserwowalność - Obserwator stanu
Filtr Kalmana
Regulator LQG
Sterowanie predykcyjne
Krzepkość - H-nieskończoność


Inne zagadnienia
identyfikacja systemów


Dziedziny powiązane
Teoria układów dynamicznych
Przetwarzanie sygnałów
Sztuczna inteligencja
Teoria decyzji
Metody numeryczne


Perspektywa historyczna
Historia automatyki
Teoretycy sterowania

H-nieskończoność, H, sterowanie H – w teorii sterowania, termin odnoszący się do metod syntezy regulatorów, które pozwalają na uzyskanie krzepkości sterowania lub krzepkości stabilności w układach regulacji. W metodach tych problem sterowania definiuje się jako zadanie sterowania optymalnego, a następnie projektuje regulator, który może takie zadanie wykonać.

WstępEdytuj

Termin H-nieskończoność pochodzi od nazwy przestrzeni matematycznej, w której zachodzi optymalizacja. H jest przestrzenią funkcji, o wartościach będących macierzami, które są analityczne i ograniczone w otwartej prawej stronie płaszczyzny zespolonej, zdefiniowanej nierównością   norma H stanowi maksymalną wartość osobliwą tej funkcji w tej przestrzeni (można to zinterpretować jako maksymalne wzmocnienie w dowolnym kierunku i dla dowolnej częstotliwości; dla systemów jednowymiarowych, jest to maksymalna amplituda charakterystyki częstotliwościowej). Metody H-nieskończoność można wykorzystać do minimalizacji wpływu zaburzeń w układach zamkniętych (w układach regulacji z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego) – w zależności od sposobu sformułowania problemu, miara tego wpływu odnosi się do stabilności albo do sterowania.

Jednoczesna optymalizacja krzepkiego sterowania i krzepkiej stabilności jest trudna do uzyskania. Jedną z metod, która bliska jest uzyskania tego, jest metoda H-nieskończoność kształtująca pętlę (sprzężenia zwrotnego) układu. W metodzie tej stosuje się koncepcje klasycznej teorii sterowania w odniesieniu do wielowymiarowych charakterystyk częstotliwościowych, tak by uzyskać odpowiednio krzepkie sterowanie, a następnie optymalizuje się charakterystykę w pobliżu pasma przenoszenia układu, tak by osiągnąć odpowiednio krzepką stabilność. Syntezę regulatora H-nieskończoność można przeprowadzić za pomocą dostępnego na rynku odpowiedniego oprogramowania komercyjnego.

Zalety i wadyEdytuj

Metody H-nieskończoność mają tę przewagę nad metodami klasycznej teorii sterowania, że można je z łatwością zastosować do systemów wielowymiarowych ze sprzężeniami skrośnymi. Z drugiej jednak strony korzystanie z tych metod wymaga znajomości właściwych zagadnień matematyki, potrzebny jest też dobry model sterowanego układu. Duże znaczenie ma odpowiednie sformułowanie problemu, gdyż każdy regulator jaki powstanie w wyniku syntezy będzie optymalny tylko w sformułowanym sensie – niewłaściwa optymalizacja często zamiast polepszać jedynie pogarsza sterowanie. Ponadto ograniczenia nieliniowe, takie jak nasycenie, ogólnie rzecz biorąc, nie są odpowiednio traktowane.

Sformułowanie problemuEdytuj

Po pierwsze proces musi zostać przedstawiony zgodnie ze standardową konfiguracją:

 

Obiekt   ma dwa wejścia, egzogeniczne wejście   które obejmuje sygnał wartości zadanej i zakłócenia, oraz sterowaną zmienną wyjściową   Są też dwa wyjścia, sygnały uchybu   które mają być zminimalizowane, i mierzona zmienna   która ma być wykorzystana do sterowania systemem. Zmienna   używana jest w   do wyliczenia zmiennej sterowanej   Wszystkie wymienione zmienne są wektorami, a   i  macierzami.

Można to wyrazić wzorami:

 
 

Można zatem zapisać zależność   od   jako:

 

  zwaną dolną liniową transformacją ułamkową (gdzie indeks   to skrót od ang. lower, czyli dolny) można wyrazić wzorem:

 

Celem projektu sterowania H jest odnalezienie regulatora   takiego że   będzie minimalizowane zgodnie z normą H. Taka sama definicja ma zastosowanie do projektu sterowania H2. Normę z nieskończonością dla macierzy transmitancji   definiuje się następująco:

 

gdzie   to maksimum wartości osobliwej macierzy  

Osiągalna norma H-nieskończoność dla układu z zamkniętą pętlą (sprzężenia zwrotnego) dana jest macierzą   gdzie układ   jest dany w postaci   Istnieje kilka dróg dojścia do sformułowania regulatora H:

Kształtowanie pętli H-nieskończonośćEdytuj

Kształtowanie pętli H-nieskończoność to metoda projektowania współczesnej teorii sterowania, która łączy tradycyjne, intuicyjne metody klasycznej teorii sterowania (takie jak całka wrażliwości Bode’go) z metodami optymalizującymi H-nieskończoność. Istota metody polega na tym, że najpierw opisuje się oczekiwane przebiegi charakterystyk i własności redukcji szumu poprzez rozważenie transmitancji w dziedzinie częstotliwości; tak „ukształtowaną” pętlę (sprzężenia zwrotnego) poddaje się następnie operacjom optymalizującym mającym na celu nadanie jej cech krzepkości. Nadawanie tych cech zwykle ma mały wpływ na niskie i wysokie częstotliwości, ale charakterystyka wokół przecięcia wzmocnienia jednostkowego (częstotliwość, przy której amplituda wzmocnienia wynosi 1 nazywa się częstotliwością wzmocnienia jednostkowego lub częstotliwością przecięcia – zob. też charakterystyka częstotliwościowa) jest tak dostosowywana, by zmaksymalizować zapas stabilności układu. Metoda ta została z powodzeniem zaimplementowana w rozwiązaniach przemysłowych[1][2].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. R. Hyde, K. Glover, G.T. Shanks, „Computing and Control Engineering Journal”, 1995, 6(1):11–16.
  2. D.J. Auger, S. Crawshaw, S.L. Hall, Proceedings of the UKACC International Conference on Control, 2008.