Otwórz menu główne

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny

gdzieː

współrzędne uogólnione,
– pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej),
– liczba stopni swobody,
– czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równanie Hamiltona-Jacobiego.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Metody otrzymywania funkcji HamiltonaEdytuj

Funkcję Hamiltona otrzymuje się,

  • z wyrażenia na energię całkowitą układu,
  • z funkcji Lagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre’a),

przy czym należy zastępując prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układuEdytuj

Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.

Punkt materialnyEdytuj

(1) Jeżeli cząstka o masie   porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale   to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

 

Ponieważ   to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

 

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

 

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

 

Oscylator harmonicznyEdytuj

Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku   ma postać

 

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

 

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’aEdytuj

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a

 

gdzie:

  – współrzędna uogólniona,
  – prędkość uogólniona,
  – czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej   wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony  (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej  

 

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a

 

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Przykłady pędów uogólnionychEdytuj

1) W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami.

2) We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki.

3) W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc, Mechanika, Warszawa: PWN, 2011.