Niech
X
{\displaystyle X}
będzie przestrzenią topologiczną,
B
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}
oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz
L
(
H
)
{\displaystyle L(H)}
oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta
H
.
{\displaystyle H.}
Funkcję
E
:
B
(
X
)
→
L
(
H
)
{\displaystyle E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)}
nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni
X
{\displaystyle X}
(albo hermitowskim rozkładem jedynki ) wtedy i tylko wtedy, gdy:
E
(
B
)
{\displaystyle E(B)}
jest operatorem samosprzężonym dla
B
∈
B
(
X
)
.
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(X).}
E
(
X
)
=
I
,
{\displaystyle E(X)=I,}
E
(
B
1
∩
B
2
)
=
E
(
B
1
)
∘
E
(
B
2
)
,
B
1
,
B
2
∈
B
(
X
)
{\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(X)}
Funkcja
B
↦
E
(
B
)
x
,
x
∈
H
,
B
∈
B
(
X
)
{\displaystyle B\mapsto E(B)x,\;x\in H,\;B\in {\mathcal {B}}(X)}
jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.
Niech
E
:
B
(
X
)
→
L
(
H
)
{\displaystyle E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)}
będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej
X
.
{\displaystyle X.}
(
E
(
B
)
x
|
x
)
=
‖
E
(
B
)
x
‖
2
{\displaystyle (E(B)x|x)=\|E(B)x\|^{2}}
dla
B
∈
B
(
X
)
.
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(X).}
Jeżeli
B
1
,
B
2
∈
B
(
X
)
{\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(X)}
są rozłączne, to
E
(
B
1
)
H
⊥
E
(
B
2
)
H
{\displaystyle E(B_{1})H\perp E(B_{2})H}
oraz
‖
E
(
⋅
)
x
‖
(
X
)
=
‖
x
‖
,
x
∈
H
.
{\displaystyle \|E(\cdot )x\|(X)=\|x\|,\;x\in H.}
Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej
g
:
X
→
C
{\displaystyle g\colon X\to \mathbb {C} }
operator
Ω
(
g
)
x
=
∫
X
g
(
λ
)
E
(
d
λ
)
x
{\displaystyle \Omega (g)x=\int \limits _{X}g(\lambda )E(d\lambda )x}
jest liniowy i ciągły , a jeżeli
g
(
X
)
⊆
R
,
{\displaystyle g(X)\subseteq \mathbb {R} ,}
to także samosprzężony . Ponadto
‖
Ω
(
g
)
‖
⩽
sup
{
|
g
(
λ
)
|
:
λ
∈
X
}
,
‖
Ω
(
g
)
‖
2
=
∫
X
|
g
(
λ
)
|
2
‖
E
(
d
λ
)
x
‖
2
,
x
∈
H
{\displaystyle \|\Omega (g)\|\leqslant \sup\{|g(\lambda )|\colon \lambda \in X\},\;\;\|\Omega (g)\|^{2}=\int \limits _{X}|g(\lambda )|^{2}\|E(d\lambda )x\|^{2},\;x\in H}
oraz
Ω
(
g
1
,
g
2
)
=
Ω
(
g
1
)
∘
Ω
(
g
2
)
{\displaystyle \Omega (g_{1},g_{2})=\Omega (g_{1})\circ \Omega (g_{2})}
dla
g
1
,
g
2
:
X
→
C
{\displaystyle g_{1},g_{2}\colon X\to \mathbb {C} }
ograniczonych funkcji borelowskich. Jeśli
X
{\displaystyle X}
jest zwartą przestrzenią metryczną oraz
E
1
,
E
2
{\displaystyle E_{1},E_{2}}
są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów
λ
1
,
λ
2
∈
X
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in X}
istnieje funkcja ciągła
f
:
X
→
R
,
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}
że
f
(
λ
1
)
≠
f
(
λ
2
)
{\displaystyle f(\lambda _{1})\neq f(\lambda _{2})}
oraz
∫
X
f
(
λ
)
E
1
(
d
λ
)
x
=
∫
X
f
(
λ
)
E
2
(
d
λ
)
x
,
x
∈
H
,
{\displaystyle \int \limits _{X}f(\lambda )E_{1}(d\lambda )x=\int \limits _{X}f(\lambda )E_{2}(d\lambda )x,\;x\in H,}
to
E
1
=
E
2
.
{\displaystyle E_{1}=E_{2}.}
Załóżmy, że przestrzeń Hilberta
H
{\displaystyle H}
jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna
(
e
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
tej przestrzeni. Dalej, niech
K
⊂
R
{\displaystyle K\subset \mathbb {R} }
będzie zbiorem zwartym oraz
(
λ
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }}
różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:
cl
{
λ
n
:
n
∈
N
}
=
K
≠
{
λ
n
:
n
∈
N
}
.
{\displaystyle {\mbox{cl}}\{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}=K\neq \{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.}
Wówczas operator
Λ
:
H
→
H
{\displaystyle \Lambda \colon H\to H}
dany wzorem
Λ
x
=
∑
n
=
1
∞
λ
n
(
x
|
e
n
)
e
n
{\displaystyle \Lambda x=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}(x|e_{n})e_{n}}
jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo
σ
(
Λ
)
=
K
.
{\displaystyle \sigma (\Lambda )=K.}
Funkcja
E
:
B
(
X
)
→
L
(
H
)
{\displaystyle E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)}
dana wzorem
E
(
B
)
x
=
∑
n
=
1
∞
1
B
(
λ
n
)
(
x
|
e
n
)
e
n
,
x
∈
H
,
{\displaystyle E(B)x=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {1} _{B}(\lambda _{n})(x|e_{n})e_{n},\;x\in H,}
gdzie
1
⋅
{\displaystyle \mathbf {1} _{\cdot }}
oznacza funkcję charakterystyczną , jest hermitowską miarą spektralną oraz
Λ
x
=
∫
σ
(
Λ
)
λ
E
(
d
λ
)
x
,
x
∈
H
.
{\displaystyle \Lambda x=\int \limits _{\sigma (\Lambda )}\lambda E(d\lambda )x,\;x\in H.}
Krzysztof Maurin : Methods of Hilbert Spaces . Warszawa: PWN, 1972.brak strony w książce