Hermitowska miara spektralna

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, ${\mathcal {B}}(X)$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz $L(H)$ oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta $H.$

Funkcję $E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)$ nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni $X$ (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. $E(B)$ jest operatorem samosprzężonym dla $B\in {\mathcal {B}}(X).$
2. $E(X)=I,$
3. $E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(X)$
4. Funkcja $B\mapsto E(B)x,\;x\in H,\;B\in {\mathcal {B}}(X)$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności

Niech $E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)$ będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej $X.$

• $(E(B)x|x)=\|E(B)x\|^{2}$ dla $B\in {\mathcal {B}}(X).$
• Jeżeli $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(X)$ są rozłączne, to $E(B_{1})H\perp E(B_{2})H$ oraz $\|E(\cdot )x\|(X)=\|x\|,\;x\in H.$
• Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej $g\colon X\to \mathbb {C}$ operator

$\Omega (g)x=\int \limits _{X}g(\lambda )E(d\lambda )x$

jest liniowy i ciągły, a jeżeli $g(X)\subseteq \mathbb {R} ,$ to także samosprzężony. Ponadto

$\|\Omega (g)\|\leqslant \sup\{|g(\lambda )|\colon \lambda \in X\},\;\;\|\Omega (g)\|^{2}=\int \limits _{X}|g(\lambda )|^{2}\|E(d\lambda )x\|^{2},\;x\in H$

oraz $\Omega (g_{1},g_{2})=\Omega (g_{1})\circ \Omega (g_{2})$ dla $g_{1},g_{2}\colon X\to \mathbb {C}$ ograniczonych funkcji borelowskich.

• Jeśli $X$ jest zwartą przestrzenią metryczną oraz $E_{1},E_{2}$ są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów $\lambda _{1},\lambda _{2}\in X$ istnieje funkcja ciągła $f\colon X\to \mathbb {R} ,$ że $f(\lambda _{1})\neq f(\lambda _{2})$ oraz

$\int \limits _{X}f(\lambda )E_{1}(d\lambda )x=\int \limits _{X}f(\lambda )E_{2}(d\lambda )x,\;x\in H,$ to $E_{1}=E_{2}.$

Przykład

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta $H$ jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna $(e_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ tej przestrzeni. Dalej, niech $K\subset \mathbb {R}$ będzie zbiorem zwartym oraz $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:

${\mbox{cl}}\{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}=K\neq \{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.$

Wówczas operator $\Lambda \colon H\to H$ dany wzorem

$\Lambda x=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}(x|e_{n})e_{n}$

jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo $\sigma (\Lambda )=K.$

Funkcja $E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)$ dana wzorem

$E(B)x=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {1} _{B}(\lambda _{n})(x|e_{n})e_{n},\;x\in H,$

gdzie $\mathbf {1} _{\cdot }$ oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz

$\Lambda x=\int \limits _{\sigma (\Lambda )}\lambda E(d\lambda )x,\;x\in H.$

Literatura

1. Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972. Brak numerów stron w książce