Hiperbola (matematyka)

krzywa płaska definiowana na kilka równoważnych sposobów, zaliczana do krzywych stożkowych

Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”[1][2][3]) – krzywa płaska definiowana na co najmniej dwa równoważne sposoby:

Przykładowa hiperbola z zaznaczonymi: ogniskami (), łączącą je osią symetrii (kolor niebieski), leżącymi na niej wierzchołkami (), asymptotami (kolor zielony) i środkiem symetrii ()

Hiperbola nie jest spójna – ma dwie rozłączne części zwane gałęziami[1].

Równanie hiperboli

edytuj

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne   i   to można ją opisać równaniem[1]:

 

gdzie   jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast   jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

 

Jeżeli   to hiperbola nazywana jest równoosiową[1].

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi[1]:

 

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Obierając na hiperboli dowolny punkt   przez   oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez   odległość pomiędzy punktem   a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

  • dla prawej gałęzi:  
  • dla lewej gałęzi:  

Niech   będzie odległością ustalonego punktu   od lewej kierownicy, a   odpowiednio – od prawej. Wówczas:

 

Powiązane linie proste

edytuj

Hiperbola zawsze ma dwie asymptoty; przy powyższym równaniu hiperboli równania asymptot to[1]:

 

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

 

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie   hiperboli spełnia równanie

 

Hiperbole sprzężone

edytuj
 
Przykład hiperbol sprzężonych w kartezjańskim układzie współrzędnych

Hiperbolę o równaniu

 

nazywa się hiperbolą sprzężoną do hiperboli wyjściowej, o równaniu podanym wyżej[1]. Hiperbole wzajemnie sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach podanych wyżej.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. a b c d e f g h hiperbola, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30].
  2. Władysław Kopaliński: hiperbola. [w:] Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych [on-line]. slownik-online.pl. [dostęp 2018-07-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-02)].
  3. Henry George Liddell, Robert Scott: ὑπερβολή. [w:] A Greek-English Lexicon [on-line]. [dostęp 2018-07-16]. (ang.).

Linki zewnętrzne

edytuj