Hiperbola (matematyka)
Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”[1][2][3]) – krzywa płaska definiowana na co najmniej dwa równoważne sposoby:
- definicja planimetryczna jest oparta na dwóch różnych, ustalonych punktach nazywanych ogniskami. Hiperbola to zbiór takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała[1];
- hiperbola to taka krzywa stożkowa, dla której kąt między płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.
Hiperbola nie jest spójna – ma dwie rozłączne części zwane gałęziami[1].
Równanie hiperboli
edytujJeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne i to można ją opisać równaniem[1]:
gdzie jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:
Jeżeli to hiperbola nazywana jest równoosiową[1].
Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi[1]:
Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.
Obierając na hiperboli dowolny punkt przez oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez odległość pomiędzy punktem a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:
- dla prawej gałęzi:
- dla lewej gałęzi:
Niech będzie odległością ustalonego punktu od lewej kierownicy, a odpowiednio – od prawej. Wówczas:
Powiązane linie proste
edytujHiperbola zawsze ma dwie asymptoty; przy powyższym równaniu hiperboli równania asymptot to[1]:
Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami
Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.
Styczna w punkcie hiperboli spełnia równanie
Hiperbole sprzężone
edytujHiperbolę o równaniu
nazywa się hiperbolą sprzężoną do hiperboli wyjściowej, o równaniu podanym wyżej[1]. Hiperbole wzajemnie sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach podanych wyżej.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ a b c d e f g h hiperbola, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .
- ↑ Władysław Kopaliński: hiperbola. [w:] Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych [on-line]. slownik-online.pl. [dostęp 2018-07-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-02)].
- ↑ Henry George Liddell, Robert Scott: ὑπερβολή. [w:] A Greek-English Lexicon [on-line]. [dostęp 2018-07-16]. (ang.).
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Hyperbola, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Hyperbola (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].