Hiperboloida

typ kwadryki
Hyperboloid1.png
Hiperboloida jednopowłokowa
DoubleCone.png
powierzchnia stożkowa pomiędzy
Hyperboloid2.png
Hiperboloida dwupowłokowa

Hiperboloida – nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli wokół osi symetrii hiperboli rozłącznej z nią (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi prostopadłej do poprzedniej, przechodzącej przez oba wierzchołki hiperboli (hiperboloida dwupowłokowa), a także każda otrzymana z takiej przez przekształcenie afiniczne przestrzeni[1]. Każda hiperboloida ma środek symetrii oraz co najmniej trzy osie i trzy płaszczyzny symetrii.

Hiperboloidowa wieża ciśnień w Ciechanowie

Równania hiperboloidyEdytuj

Można ją opisać wzorem

   (hiperboloida jednopowłokowa)

lub

   (hiperboloida dwupowłokowa).

Równanie hiperboloidy można sparametryzować poprzez funkcję   daną wzorem:

  (dla hiperboloidy jednopowłokowej)

lub

  (dla hiperboloidy dwupowłokowej).

Obie hiperboloidy są asymptotyczne do powierzchni stożka o równaniu

 

Szczególne przypadkiEdytuj

Hiperboloidę obrotową otrzymuje się tylko gdy   W przeciwnym razie osie symetrii są jednoznacznie określone (z dokładnością do zamiany osi x z osią y).

Hiperboloida jednopowłokowa zwana też hiperboloidą hiperboliczną ma ujemną krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Implikuje to, że każda powierzchnia styczna do niej zawiera dwie proste, leżące w hiperboloidzie – hiperboloida ta jest więc powierzchnią prostokreślną.

Hiperboloida dwupowłokowa zwana hiperboloidą eliptyczną ma dodatnią krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Dlatego jest powierzchnią wypukłą w tym sensie, że powierzchnia styczna w każdym punkcie przecina tę powierzchnię tylko w punkcie styczności.

Zastosowanie kształtuEdytuj

W XIX wieku kształt hiperboloidy obrotowej nadawano panoramom malarskim dla spotęgowania efektu zacierania się granicy między powierzchnią płótna a przestrzenią przed nim. Jednym z przykładów takiego zastosowania jest Panorama Racławicka. Także koła zębate przekładni hipoidalnych mają kształt hiperboloidy dwupowłokowej, a jej nazwa prawdopodobnie powstała ze skrótu: hiperboloidalna > hipoidalna.

PrzypisyEdytuj

  1. hiperboloida, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-09].

Linki zewnętrzneEdytuj