Hiperkula – zwyczajowa nazwa uogólnienia kuli w -wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich Tak więc hiperkulą może być nazwane zarówno dwuwymiarowe koło, jak i trój-, cztero- lub pięciowymiarowa kula; jednak pojęcia tego używa się najczęściej dla cztero- lub więcej wymiarowych kul.

Wygląd hiperkuliEdytuj

 
Rzut na płaszczyznę siatki pokrywającej hiperkulę czterowymiarową

Wyobrażenie sobie wielowymiarowej (cztero-, pięcio-, lub więcej) hiperkuli jest trudne dla człowieka, ponieważ przestrzeń z czterema lub większą liczbą wymiarów leży poza granicami ludzkiej, trójwymiarowej percepcji. Można narysować rzut hiperkuli na płaszczyznę, lub ewentualnie skonstruować rzut na przestrzeń trójwymiarową – dostajemy jednak wówczas odpowiednio zwykłe koło i zwykłą kulę. Można też pokryć powierzchnię hiperkuli siatką (odpowiadającą siatce równoleżników i południków na kuli) i narysować jej rzut. Uzyskujemy wówczas rysunek taki jak obok.

W przypadku przekrojenia hiperkuli, w miejscu przecięcia zobaczymy kulę (analogicznie do przekrojenia kuli, gdy w miejscu przecięcia widzimy koło).

Definicja formalnaEdytuj

Hiperkulą o środku w punkcie   i promieniu długości   nazywamy zbiór punktów przestrzeni   spełniających nierówność

 

Brzegiem hiperkuli jest zbiór punktów przestrzeni   spełniających równanie

 

Zbiór ten nazywamy hipersferą. Hipersfera będąca brzegiem kuli  -wymiarowej jest obiektem  -wymiarowym, podobnie jak brzeg dwuwymiarowego koła jest obiektem jednowymiarowym – krzywą zwaną okręgiem.

WzoryEdytuj

Wzór jawnyEdytuj

 -wymiarową objętość  -wymiarowej hiperkuli o promieniu   można obliczyć ze wzoru:

 

gdzie   oznacza funkcję gamma,   to stała matematyczna wynosząca   zaś symbol   oznacza silnię podwójną. Wraz ze wzrostem liczby wymiarów, hiperkula wypełnia coraz mniejszą część hipersześcianu, w który jest wpisana. Stosunek ich objętości maleje do zera, gdy   dąży do nieskończoności.

 -wymiarowa powierzchnia hiperkuli jest związana prostym wzorem z jej objętością:

 

Wzór rekurencyjnyEdytuj

 -wymiarową objętość  -wymiarowej hiperkuli można policzyć, całkując odpowiednio  -wymiarową hiperkulę, przy czym 0-wymiarowa hiperkula jest punktem o objętości równej 1, co jest warunkiem brzegowym tego wzoru.

 

Dla kolejnych  -wymiarowych hiperkul objętość wynosi:

n Wzór na uogólnioną objętość (Vn):