Hipoteza Pólyi

Hipoteza Pólyimatematyczna hipoteza, mówiąca że dla dowolnej liczby naturalnej co najmniej 50% liczb naturalnych mniejszych od ma nieparzystą liczbę czynników pierwszych. Hipotezę tę postawił w 1919 roku węgierski matematyk George Pólya. W 1958 roku wykazano, że jest to nieprawdą.

HipotezaEdytuj

 
Suma wartości funkcji Liouville’a do  
 
Suma wartości funkcji Liouville’a do  

Hipoteza Pólyi mówi, że jeżeli dla dowolnego   podzielimy liczby naturalne mniejsze od   na dwie grupy, w zależności od tego, czy dana liczba ma parzystą, czy nieparzystą liczbę czynników pierwszych, to w pierwszej grupie nigdy nie będzie więcej liczb niż w drugiej. Powtórzone czynniki pierwsze liczymy odpowiednią liczbę razy, na przykład: 24 = 2³ · 31 ma 3+1 = 4 czynniki pierwsze.

Równoważnie, przy użyciu funkcji Liouville’a, hipotezę tę można zapisać jako

 

dla wszystkich   gdzie   ma wartość +1 gdy liczba czynników pierwszych   jest parzysta, a −1 gdy jest nieparzysta.

ObalenieEdytuj

Hipoteza Pólyi została obalona przez C.B. Haselgrove’a w 1958 roku. Pokazał on, że istnieje kontrprzykład rozmiaru oszacowanego przez niego na 1,845 · 10361. Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.

Dokładny kontrprzykład równy   został podany przez R.S. Lehmana w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący   podał Minoru Tanaka w 1980 roku.

BibliografiaEdytuj

  • R.S. Lehman, On Liouville’s function. Math. Comp. 14 (1960), s. 311–320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function, „Tokyo Journal of Mathematics” 3, (1980) s. 187–189.

Linki zewnętrzneEdytuj