Otwórz menu główne

Hipoteza Riemanna

hipoteza o nietrywialnych zerach funkcji dzeta
Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1
Wykres części rzeczywistej i urojonej funkcji dzeta Riemanna dla s = 0,5 + i * t

Hipoteza Riemanna – sformułowana w 1859 roku hipoteza[1], dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą ½. Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki – w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Jest jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000[2]. Clay Mathematics Institute (CMI) ufundował nagrodę w wysokości miliona dolarów za dowód lub obalenie tej hipotezy. Hipoteza Riemanna jest ósmym problemem z listy problemów Hilberta.

Sformułowanie hipotezyEdytuj

Dla liczb zespolonych s spełniających warunek Re s > 1 funkcja dzeta określona jest wzorem:

 

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Wtedy funkcja Dzeta Riemanna spełnia równanie funkcyjne:

 

gdzie   reprezentuje funkcję gamma. Dzięki temu rozszerzeniu funkcja Dzeta ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... , wynikające z zerowania się funkcji sinus. Uwaga: dla s = 2, 4,... stosuje się pierwotną postać szeregu zbieżnego w tym przypadku do od lat znanych wartości (różnych od zera) pokazanych choćby przez Eulera. Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej Re s = ½, zwanej prostą krytyczną. G.H. Hardy oraz J.E. Littlewood udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele miejsc zerowych funkcji dzeta na prostej krytycznej. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey, 1989).

Hipoteza Riemanna a teoria liczbEdytuj

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości (π(n) to ilość liczb pierwszych w przedziale od 1 do n), będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:

 

gdzie   oznacza tzw. resztę z logarytmu całkowego, a do zapisu użyto tzw. dużego O.

PrzypisyEdytuj

  1. Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. (19. Oktober 1859). In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1860, S. 671–680
  2. Millennium problems, na stronie claymath.org (ang.)

Linki zewnętrzneEdytuj