Hipoteza continuum

Hipoteza continuum (CH, ang. continuum hypothesis) – hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Mówi ona, że pomiędzy nimi nie ma żadnej wielkości pośredniej; innymi słowy – continuum to najmniejsza liczba nieprzeliczalna, co formułuje się równaniem: .

Hipotezę tę sformułował w XIX wieku Georg Cantor; znalazła się ona wśród problemów Hilberta, jako pierwsza na liście. W XX wieku udowodniono, że problem ten jest nierozstrzygalny dla standardowej teorii mnogości, tj. niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla[1].

Ewolucja problemuEdytuj

Hipoteza ta została postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora. Posługując się rozumowaniem przekątniowym, Cantor wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być daleko nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma[2]. Fakt, że nie potrafił on jej udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.

W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermela-Fraenkla. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność, można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

UogólnienieEdytuj

Uogólniona hipoteza continuum (GCH, ang. generalized continuum hypothesis) to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego   nie istnieje zbiór   którego moc byłaby większa od mocy zbioru   ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego   Uogólniona hipoteza continuum pociąga aksjomat wyboru. Jednym z jej następstw jest następujące twierdzenie Jesienina-Wolpina:

Pod założeniem GCH dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej   istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa   ciężaru   o tej własności, że każda przestrzeń Banacha ciężaru   jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią liniową przestrzeni   tj. przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na   z normą supremum[3].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Guzicki 1993 ↓, s. 66.
  2. hipoteza continuum, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
  3. A.C. Yesenin-Volpin, On the existence of a universal bicompact of arbitrary weight, „Dokl. Akad. Nauk USSR” 68 (1949), s. 649–652.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj