Homomorfizm (gr. ὅμοιος (homoios) = podobny + gr. μορφή (morphē) = kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Istnienie homomorfizmu pozwala traktować jedną z algebr jako podalgebrę drugiej.

Homomorfizm różnowartościowy nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmuEdytuj

Niech   i   oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:

  •   są zbiorami,
  •   są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru   (np. +, *, potęgowanie itp.),
  •   są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru   odpowiadającymi działaniom w zbiorze  
  • liczby argumentów   działania   są równe liczbie argumentów   działania    

Funkcja   przekształcającą zbiór   w zbiór   jest homomorfizmem algebry   w algebrę   jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań   oraz   i dla każdego ciągu   elementów zbioru   zachodzi równość:

 

O funkcji   mówi się, że przeprowadza każde działanie   w odpowiadające mu działanie  

Rodzaje homomorfizmówEdytuj

Relacje zbiorów morfizmów
 
Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomorfizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów
 
Zbiór monomorfizmów
 
Zbiór epimorfizmów
 
Zbiór izomorfizmów
 
Zbiór endomorfizmów
 
Zbiór automorfizmów
 
Każdy monomorficzny lub epimorficzny endomorfizm jest izomorfizmem.

Homomorfizm, który jest:

Typy homomorfizmówEdytuj

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

Homomorfizm grupEdytuj

Niech   oraz   oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie   nazywamy homomorfizmem grupy   w grupę   jeżeli spełnione są warunki:

a)  

tzn.   jest funkcją ze zbioru   w zbiór  

b)  

tzn. wynik działania   wykonanego na wszystkich parach elementów   zbioru   i następnie odwzorowany do zbioru   za pomocą funkcji   jest równy wynikowi działania   wykonanego na obrazach     elementów   (wynik ten jest na pewno elementem zbioru   ponieważ operacja   jest działaniem w  ).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe   na działanie  

TwierdzenieEdytuj

Tw. Jeżeli   jest homomorfizmem   to

a)   przekształca element neutralny działania   w   na element neutralny działania   w   tzn.

 

b)   przekształca element odwrotny działania   w   na element odwrotny działania   w   tzn.

 

gdzie   oznacza element przeciwny do elementu   w   zaś   oznacza element przeciwny do   w  

PrzykładyEdytuj

Homomorfizm pierścieniEdytuj

(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień   liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień   macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru   na zbiór macierzy  

  

(3) Funkcja   jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

 

2) zachowuje mnożenie

 

3) element neutralny dodawania w   przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

 

4) element neutralny mnożenia w   przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

 

Z powyższych własności wynika, że funkcja   jest homomorfizmem ze zbioru   do zbioru  

Ponadto:

5) funkcja   jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru   odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru   Z powyższych własności wynika, że funkcja   jest monomorfizmem zbiorów   oraz  

Brak homomorfizmu pierścieniEdytuj

Zbiory   oraz   są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję   która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

 

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

 

Np. niech     Wtedy mamy:

 

ale

 

Homomorfizm grupEdytuj

Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych   oraz niezerowych liczb rzeczywistych   Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcje   która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)

 

(3) Funkcja   jest homomorfizmem z   w   gdyż odtwarza działanie mnożenia w   tj.

 

Homomorfizm monoidówEdytuj

 
Homomorfizm   z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, *, 1), taki że:   Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

1) Niech   będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

 

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

  oraz  

tzn.

  oraz  

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny (tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0) – zobacz rysunek obok).

2) Niech   oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania   a   oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza   Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.