Otwórz menu główne

Ideał (teoria mnogości)

Ideał – rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:

  • zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały,
  • zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała,
  • suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

Definicje formalneEdytuj

Ideały w porządkachEdytuj

Niech   będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór   jest ideałem w zbiorze uporządkowanym  , jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)  
(ii) jeśli     oraz   to również  
(iii) jeśli   to można znaleźć   taki że   oraz  

Ideał   jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv)  

Ideały w algebrach Boole’aEdytuj

Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech   będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór   jest ideałem w algebrze Boole’a  , jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)  
(ii) jeśli     (tzn.  ) oraz   to również  
(iii) jeśli   to  

Ideał   jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv)  

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Ideały podzbiorów danego zbioruEdytuj

Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru   (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru   Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów  .

Niech   będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina   podzbiorów zbioru   jest ideałem podzbiorów zbioru   jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)  
(ii) jeśli   i   to również  
(iii) jeśli   to  

Ideał   jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv)  

Ideały maksymalneEdytuj

Ideał właściwy   w porządku częściowym   jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym   jest samo  

PrzykładyEdytuj

Ideały w algebrach Boole’aEdytuj

  • Niech   będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii. Wówczas   jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Niech   będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue’a. Wówczas   jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że   jest filtem w algebrze Boole’a   Niech   Wówczas   jest ideałem w   Warto zauważyć, że   jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy   jest ulltrafiltrem.

Ideały podzbiorów danego zbioruEdytuj

  • Niech   będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina   wszystkich skończonych podzbiorów   jest ideałem podzbiorów   Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
  • Niech   Wówczas rodzina   wszystkich podzbiorów zbioru   jest ideałem podzbiorów   Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn. typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
  • Niech   będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a   będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue’a zero. Wówczas zarówno   jak i   są ideałami podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że   jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni   tworzy właściwy ideał podzbiorów  
  • Niech   będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech   będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów   których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór   Rodzina   jest ideałem podzbiorów   – zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami  .

Dodatkowe pojęciaEdytuj

  • Niech   będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał   podzbiorów zbioru   jest  -zupełny, jeśli suma mniej niż   zbiorów z ideału   należy do  
  • Ideały  -zupełne na   są nazywane  -ideałami podzbiorów  . Tak więc  -ideał podzbiorów   to taki ideał   podzbiorów   który spełnia następujący warunek:
(iii)σ jeśli   to  
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech   będzie takim ideałem podzbiorów zbioru   który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:
 
 
 
 

Własności i zastosowaniaEdytuj

  • Każdy właściwy ideał w algebrze Boole’a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
  • Jeśli   jest ideałem podzbiorów   który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to
  i  
  • Współczynniki kardynalne ideałów   i   były intensywnie studiowane także i w Polsce w latach 80. XX wieku. Są one głównymi elementami tzw. diagramu Cichonia.

Zobacz teżEdytuj