Ideał (teoria półgrup)

Ideał – taki podzbiór półgrupy, że jeśli jego dowolny element zostanie pomnożony przez dowolny element półgrupy, to wynik pozostanie w tym podzbiorze. Jeżeli jest to prawdą niezależnie od kolejności tych czynników, podzbiór jest ideałem obustronnym, który dla prostoty nazywa się po prostu ideałem. Jeżeli własność tę posiadają tylko czynniki w określonej kolejności, podzbiór jest ideałem prawostronnym lub lewostronnym.

DefinicjaEdytuj

Jeżeli   jest półgrupą,   jest jej podzbiorem, to   jest ideałem lewostronnym   wtedy i tylko wtedy, gdy     nazywamy ideałem prawostronnym wtedy i tylko wtedy, gdy     nazywamy ideałem obustronnym lub po prostu ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy   jest zarówno ideałem prawo- jak i lewostronnym. Ideał nazywamy właściwym, jeżeli jest różny od  

Ideały generowane i główneEdytuj

Jeżeli   jest podzbiorem półgrupy   to ideałem (lewo-, prawo- lub obustronnym) generowanym przez   nazywamy najmniejszy ideał (lewo-, prawo- lub obustronny) zawierający   Taki ideał zawsze istnieje i

  •   jest ideałem lewostronnym generowanym przez  
  •   jest ideałem prawostronnym generowanym przez  
  •   jest ideałem obustronnym generowanym przez  

Jeżeli istnieje taki element   że   jest ideałem lewo-, prawo- lub obustronnym generowanym przez   to   nazywamy ideałem głównym, odpowiednio lewo-, prawo- lub obustronnym.

Półgrupy prosteEdytuj

Półgrupę nazywamy prostą, jeżeli nie zawiera właściwych ideałów (obustronnych). Jeżeli półgrupa nie zawiera właściwych ideałów prawostronnych, to nazywamy ją prawostronnie prostą. Jeżeli nie zawiera właściwych ideałów lewostronnych, to nazywamy ją lewostronnie prostą. Następujące warunki są równoważne dla półgrupy  

  •   jest półgrupą prostą.
  •  
Zobacz też: relacje Greena.

Półgrupy 0-prosteEdytuj

Półgrupa   z zerem nie może być prosta, ponieważ   jest ideałem właściwym   Dlatego definiuje się półgrupy 0-proste jako półgrupy, które nie zawierają niezerowych ideałów właściwych. Analogicznie definiuje się półgrupy prawostronnie 0-proste i lewostronnie 0-proste.