Wzór Wallisa – rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa . Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych , które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby „szybciej zbieżne”. Wzór Wallisa ma postać[1]
∏
n
=
1
∞
(
2
n
)
(
2
n
)
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋅
…
=
π
2
.
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots ={\frac {\pi }{2}}.}
Wyprowadzenie
edytuj
Pierwiastki funkcji
sin
x
x
{\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}
k
π
,
{\displaystyle k\pi ,}
k
{\displaystyle k}
liczbą całkowitą . Postępując a priori analogicznie jak w teorii wielomianów, funkcję tę przedstawia się jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych:
sin
x
x
=
k
(
1
−
x
π
)
(
1
+
x
π
)
(
1
−
x
2
π
)
(
1
+
x
2
π
)
(
1
−
x
3
π
)
(
1
+
x
3
π
)
…
,
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\dots ,}
gdzie
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
lim
x
→
0
sin
x
x
=
lim
x
→
0
(
k
(
1
−
x
π
)
(
1
+
x
π
)
(
1
−
x
2
π
)
(
1
+
x
2
π
)
(
1
−
x
3
π
)
(
1
+
x
3
π
)
…
)
=
k
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\ldots \right)=k.}
Korzystając z faktu, iż:
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}
otrzymujemy
k
=
1.
{\displaystyle k=1.}
wzór Eulera-Wallisa dla funkcji sinus :
sin
x
x
=
(
1
−
x
π
)
(
1
+
x
π
)
(
1
−
x
2
π
)
(
1
+
x
2
π
)
(
1
−
x
3
π
)
(
1
+
x
3
π
)
…
,
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\dots ,}
sin
x
x
=
(
1
−
x
2
π
2
)
(
1
−
x
2
4
π
2
)
(
1
−
x
2
9
π
2
)
…
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\ldots }
Podstawiając
x
=
π
2
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}
1
π
2
=
2
π
=
(
1
−
1
2
2
)
(
1
−
1
4
2
)
(
1
−
1
6
2
)
…
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
1
4
n
2
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\ldots =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right).}
Ostatecznie:
π
2
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
2
4
n
2
−
1
)
=
∏
n
=
1
∞
(
2
n
)
(
2
n
)
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋅
…
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots }
Podstawiając w równaniu przybliżenie Stirlinga zarówno dla
k
!
,
{\displaystyle k!,}
2
k
!
,
{\displaystyle 2k!,}
p
k
{\displaystyle p_{k}}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
k
→
∞
.
{\displaystyle k\to \infty .}
Wykres iloczynów częściowych
edytuj
Bibliografia
edytuj
Linki zewnętrzne
edytuj
