Część wspólna

Część wspólna, przekrój, przecięcie, iloczyn mnogościowy – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje

Przekrój zbiorów $A$ i $B$ oznaczony kolorem fioletowym

Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ to zbiór, do którego należą te elementy zbioru $A,$ które należą również do $B$. Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ jest oznaczana przez $A\cap B.$ Tak więc:

$x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)$,

co jest równoważne zapisowi

$A\cap B=\{x\in \Omega :x\in A\wedge x\in B\}$,

gdzie $\Omega$ jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią lub uniwersum.

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli ${\mathcal {A}}$ jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór $\bigcap {\mathcal {A}}$ elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny ${\mathcal {A}}$:

$x\in \bigcap {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A){\Big )}.$

Można to równoważnie zapisać jako

$\bigcap {\mathcal {A}}=\{x\in \Omega :(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A)\}$.

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_{i})_{i\in I},$ gdzie zbiór indeksów $I$ jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega :(\forall i\in I)(a\in A_{i})\},$

co jest równoważne

$a\in \bigcap _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall i\in I)(a\in A_{i}){\Big )}$.

Przykłady

• Niech $\mathbb {N}$ będzie zbiorem liczb naturalnych, a $P$ niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas $\mathbb {N} \cap P$ jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.

$\mathbb {N} \cap P=\{n\in \mathbb {N} :2$ dzieli $n\}.$

• $(0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,$ ale $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$
• $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(1-{\frac {1}{n+1}},1+{\frac {1}{n+1}}\right)=\{1\}$
• Niech ${\mathfrak {A}}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek $[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).$ Wówczas

$\bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].$

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzą następujące równości:

• $\bigcap \{A\}=A=A\cap A,$
• $\bigcap \{A,B\}=A\cap B,$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$     (łączność),
• $A\cap B=B\cap A$     (przemienność),
• $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ oraz $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ oraz $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$     (prawo De Morgana).

Ponadto,

• $A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cap B=A.$

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_{i}:i\in I\},$ $\{B_{i}:i\in I\}$ oraz $\{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów $I,J,K$ są niepuste. Niech $D$ będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

• $\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap B_{i})=\bigcap _{i\in I}A_{i}\cap \bigcap _{i\in I}B_{i}$
• $\bigcap _{i\in I}A_{i}\cup \bigcap _{i\in I}B_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup B_{i})$
• $D\cap \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap D)$
• $D\cup \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup D)$
• $D\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}D\setminus A_{i}$
• $\bigcap _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{j\in J}C_{j,k}$
• $\bigcup _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}\subseteq \bigcap _{k\in K}\bigcup _{j\in J}C_{j,k}$

Związek z funkcjami

Dla dowolnej funkcji $f\colon X\longrightarrow Y,$ dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_{i}:i\in I\}$ podzbiorów zbioru $X$ oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_{j}:j\in J\}$ podzbiorów zbioru $Y,$ zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

• $f^{-1}[\bigcap _{j\in J}B_{j}]=\bigcap _{j\in J}f^{-1}[B_{j}]$ (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
• $f[\bigcap _{i\in I}A_{i}]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]$ (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowym

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego $U$ (tzw. uniwersum) oraz ${\mathcal {P}}(\mathbf {U} )$ jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru $U,$ to

$({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )$

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór $U$ jest elementem neutralnym operacji części wspólnej $\cap .$

Zapis

$\bigcap {\mathcal {A}},$

gdy ${\mathcal {A}}=\varnothing$ (tzn. gdy ${\mathcal {A}}$ jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu.

Zobacz też

• iloczyn kartezjański
• prawa De Morgana
• różnica zbiorów
• suma zbiorów

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
• Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.