Iloczyny tensorowe C*-algebr

Iloczyny tensorowe C*-algebr – dla pary C*-algebr i C*-algebry będące uzupełnieniami C*-norm na (algebraicznym) iloczynie tensorowym uzależnionych od norm w i W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na jest normą krzyżową[1], tj. spełnia warunek

Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach 50. XX w.[2][3][4][5]

Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr

edytuj

Niech   i   będą C*-algebrami oraz niech     będą, odpowiednio, ich reprezentacjami na przestrzeniach Hilberta   i   Wzór

 

definiuje reprezentację   *-algebry   na iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta  

Minimalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr   i   nazywane jest uzupełnienie normy   na   danej wzorem

 

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach     odpowiednio, algebr   i   Minimalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem  

Maksymalny iloczyn tensorowy C*-algebr

edytuj

Maksymalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr   i   nazywane jest uzupełnienie normy   na   danej wzorem

 

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach   (na przestrzeni Hilberta) *-algebry   Maksymalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem  

Nuklearne C*-algebry

edytuj
Osobny artykuł: C*-algebra nuklearna.

Nazwy minimalny i maksymalny iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu – jeżeli   jest jakąkolwiek C*-normą na   to

 

C*-algebra   nazywana jest nuklearną, gdy dla każdej innej C*-algebry   normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w   są równe, tj.

 

W przypadku tensorowania C*-algebry   z nuklearną C*-algebrą   symbolem   oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.

Przypisy

edytuj
  1. B.J. Vowden, C*-Norms and tensor products of C*-algebras, „J. London Math. Soc.” (2), 7(1974), s. 595–596.
  2. T. Turumaru, On the direct product of operator algebras, I, „Tohoku Math. J.”, 4 (1952), s. 242–151.
  3. T. Turumaru, On the direct-product of operator algebras, II. „Tohoku Math. J.” 5 (1953), s. 1–7.
  4. T. Turumaru, On the direct-product of operator algebras, III. „Tohoku Math. J.” 6 (1954), s. 208–211.
  5. T. Turumaru, On the direct product of operator algebras, IV. „Tohoku Math. J.” 8 (1956), s. 281–285.

Bibliografia

edytuj
  • M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.