Implikacja materialna

spójnik logiczny

Implikacja, implikacja materialna (w odróżnieniu od implikacji formalnej, tj. wynikania) – zdanie logiczne lub funkcja zdaniowa powstałe przez połączenie dwóch zdań (poprzednik implikacji) i (następnik implikacji) spójnikiem implikacji

Spójnik implikacji jest spójnikiem ekstensjonalnym – implikacja przyjmuje wartości logiczne zależące jedynie od wartości logicznych łączonych zdań.

Tablica prawdy dla implikacji[1]
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

gdzie:

1 – prawda
0 – fałsz.

Definicja

edytuj
Znak „<” przyjęto nazywać znakiem implikacji, od łac. implico – wplatam, dla zaznaczenia, że następnik jest niejako wpleciony, uwikłany w poprzednik, skoro w prawdziwej implikacji poprzednik nie może być prawdziwy bez prawdziwości następnika. Samo zaś zdanie postaci „p < q”, czyli zdanie warunkowe, nazywa się częstokroć wprost implikacją. (T. Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk, Warszawa, PWN, 1986 (1929), s. 140).

Notacja

edytuj

Zestawienie symboli implikacji, stosowanych przez różnych autorów w początkowym okresie rozwoju logiki formalnej[2][3]:

Schröder, Peirce
Hilbert
Peano
Russell
Łukasiewicz
Implikacja      

Współcześnie implikację materialną często oznacza się symbolem  [4][5]. Część autorów używa symbolu   w tym samym znaczeniu[6][7]. Niektórzy natomiast stosują rozróżnienie:

  •   oznacza implikację materialną (zdanie   jest zdaniem w języku przedmiotowym i może być prawdziwe lub fałszywe);
  •   to implikacja logiczna, czyli wynikanie (zapis   należy do metajęzyka i oznacza, że   jest tautologią)[8][9].

Symbol   bywa także używany do oznaczenia w logice modalnej implikacji ścisłej, czyli takiej, w której nie jest możliwe, aby poprzednik był prawdziwy, a następnik fałszywy[10].

Przykłady

edytuj

Implikację można traktować jako obietnicę: „obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki, to zacznę odrabiać zadania”. Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1⇒1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1⇒0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

  • Zdanie „Jeśli Rzym jest stolicą Włoch, to Warszawa jest stolicą Francji” jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika), jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).
  • Zdanie „Jeśli Księżyc jest z sera, to Warszawa jest stolicą Francji” jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.
  • Zdanie „Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.

Własności

edytuj

W klasycznym rachunku zdań implikacja spełnia równoważność:

 

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost.

Ponadto prawdziwa jest też równoważność:

 

Przypisy

edytuj

Bibliografia

edytuj


Linki zewnętrzne

edytuj