Podzbiór

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Diagram Venna: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Definicja

Niech $A,B$ będą zbiorami. Jeżeli każdy element $x\in A$ jest jednocześnie elementem $B,$ to zbiór $A$ nazywa się podzbiorem zbioru $B$. W zapisie logicznym:

$A\subseteq B\,\iff \forall _{x\in A}\ x\in B,$

Jeżeli $A$ jest podzbiorem $B,$ to sam zbiór $B$ nazywa się nadzbiorem zbioru $A$ i oznacza $B\supseteq A.$

Jeżeli każdy element zbioru $A$ należy do $B$ i jednocześnie każdy element zbioru $B$ należy do $A,$ czyli $A\subseteq B$ oraz $B\subseteq A$ to $A=B$ i dla zaznaczenia tego faktu taki podzbiór $A$ zbioru $B$ nazywa się niewłaściwym. Zatem cały zbiór $B$ jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc $B\subseteq B.$ W przeciwnym wypadku, czyli gdy $A\subseteq B$ oraz $A\neq B,$ zbiór $A$ nazywa się podzbiorem właściwym zbioru $B$ i oznacza $A\subsetneq B.$ Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis

Do oznaczenia podzbioru bądź nadzbioru niekiedy wykorzystuje się jedynie symbole $\subset$ oraz $\supset ,$ a bycie podzbiorem (nadzbiorem) właściwym jest wtedy zaznaczane obok. Występuje to m.in. w starszych pozycjach, np. w podręcznikach Kuratowskiego i Rasiowej. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków $\subseteq$ i $\supseteq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych.

Część autorów przyjęła nową konwencję, inni pozostali przy dotychczasowej. W wyniku tego znaczenie symboli $\subset$ i $\supset$ stało się nieprecyzyjne. Z czasem wprowadzono symbole $\subsetneq$ i $\supsetneq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Zawieranie

Dla dowolnego zbioru $K$ prawdziwe jest zdanie:

• zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru (element najmniejszy),

  $\varnothing \subseteq K.$

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów $K,L,M$ zachodzą następujące fakty:

• dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),

  $K\subseteq K$,

• zbiory będące swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe (antysymetria),

  $K\subseteq L\wedge L\subseteq K\Rightarrow K=L;$

• podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),

  $K\subseteq L\wedge L\subseteq M\Rightarrow K\subseteq M$.

Relacja $\subseteq$ jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją. Dlatego też dla danych zbiorów $A,B$ pozostających z sobą w relacji $A\subseteq B$ mówi się obok „$A$ jest podzbiorem $B$”, że $A$ zawiera się bądź jest zawarty w $B.$ Analogiczne wyrażenie $B\supseteq A$ obok „$B$ jest nadzbiorem $A$” czyta się $B$ zawiera $A.$

Relacja $\supseteq$ ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe

Podobnie rzecz ma się z relacjami $\subsetneq$ oraz $\supsetneq ,$ które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów $K,L,M{:}$

• żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),

  $\lnot (K\subsetneq K),$

• podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),

  $K\subsetneq L\wedge L\subsetneq M\Rightarrow K\subsetneq M.$

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

• podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),

  $K\subsetneq L\Rightarrow \lnot (L\subsetneq K).$

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady

• zbiór $\{1,3,4\}$ jest podzbiorem (właściwym) zbioru $\{1,2,3,4\},$
• zbiór $\{1,2,3,4\}$ zawiera się w $\{1,2,3,4\},$
• zbiór $\{1,2,4,5\}$ nie jest podzbiorem zbioru $\{1,2,3,4\},$
• zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
• zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
• zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Zobacz też

• teoria mnogości
• zanurzenie (matematyka)

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.brak strony w książce
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
• Jerzy Tiuryn: Wstęp do teorii mnogości i logiki. Warszawa: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Uniwersytet Warszawski, 1998.