Interpolacja (matematyka)

Ten artykuł dotyczy metody numerycznej. Zobacz też: inne znaczenia słowa interpolacja.

Interpolacjametoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości, w ustalonych punktach nazywanych węzłami[1]. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja[2].

Interpolacja skończonego zbioru punktów epitrochoidy (niebieska krzywa).

DefinicjaEdytuj

Niech dany będzie przedział   oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów   z tego przedziału,

 

Wyrazy   powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Zakłada się także, że zadane są wartości   dla   Pary   nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję   określoną na przedziale   nazywa się funkcją interpolacyjną (również interpolującą[1]) określoną w zadanych węzłach jeśli:

  dla wszystkich  

Jeśli dana jest funkcja   oraz   dla każdego   to funkcja interpolująca punkty pomiarowe   (dla  ) może być nazwana interpolacją funkcji   w węzłach  .

Na funkcję interpolującą   nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych, i tak jeśli zażąda się, aby   była określonej klasy, to mówi się wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

Węzeł funkcjiEdytuj

Węzeł funkcji to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość.

Jeżeli:

  jest funkcją z   w  
  jest elementem   dla którego znana jest wartość    

to   jest węzłem funkcji  

W praktyce zbiór węzłów jest skończonym zbiorem argumentów, dla których eksperymentalnie wyznaczono wartości nieznanej funkcji (będącej np. funkcją zależności mocy silnika, od wartości wychylenia wirnika).

Interpolacja liniowaEdytuj

Interpolacja wielomianowaEdytuj

 
Interpolacja liniowa
Osobny artykuł: Interpolacja wielomianowa.

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange’a, a jej podstawą jest twierdzenie, że:

Dla danych   punktów pomiarowych, parami różnych od siebie, istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej   interpolujący te punkty[3].

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa; zadanie interpolacji dla dwóch węzłów   i   Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty   i   (zob. rysunek).

Funkcje sklejaneEdytuj

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek wartości błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi, nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia (najczęściej trzeciego), jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację[4]. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

Funkcje trygonometryczneEdytuj

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji trygonometrycznych mających właśnie charakter okresowy.

Interpolacja nieliniowaEdytuj

WymiernaEdytuj

Osobny artykuł: Interpolacja wymierna.

Interpolacja wymierna polega na przybliżaniu funkcji za pomocą funkcji wymiernej. Rozwiązanie zadania interpolacji wymiernej nie zawsze jest możliwe do wykonania[5].

WykładniczaEdytuj

Zastosowanie interpolacjiEdytuj

  • obliczanie wartości funkcji podanych za pomocą tablic w punktach różnych od podanych w tablicy[6]
  • zagęszczanie tablic[6]
  • obliczanie poprawek[6]
  • zastępowanie skomplikowanych funkcji wielomianem odpowiedniego stopnia[6]
  • reguła Titiusa-Bodego: odległości planet Układu Słonecznego okazywały się tworzyć pewien ciąg opisany funkcją wykładniczą. Interpolacja danych pozwoliła przewidzieć i odkryć Ceres.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj