Otwórz menu główne

Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange’a, od nazwiska pioniera badań nad interpolacją Josepha Lagrange’a lub po prostu interpolacjąmetoda numeryczna przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange’a stopnia przyjmującym w punktach, zwanych węzłami interpolacji, wartości takie same jak przybliżana funkcja.

Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję ciągłą na przedziale domkniętym, można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

Interpolacja liniowaEdytuj

Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.

Jest przypadkiem interpolacji wielomianowej dla dwóch punktów pomiarowych   i   dla których można utworzyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty   i  

Ogólna metodaEdytuj

 
Przykład interpolacji wielomianowej.

Metoda interpolacji polega na:

  1. wybraniu   punktów   należących do dziedziny   dla których znane są wartości  
  2. znalezieniu wielomianu   stopnia co najwyżej   takiego, że  

Interpretacja geometryczna – dla danych   punktów na wykresie szuka się wielomianu stopnia co najwyżej   którego wykres przechodzi przez dane punkty

Znajdowanie odpowiedniego wielomianuEdytuj

Wielomian przyjmujący zadane wartości w konkretnych punktach można zbudować w następujący sposób:

  1. Dla pierwszego węzła o wartości   znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość   a w pozostałych węzłach   wartość zero.
  2. Dla kolejnego węzła znajduje się podobny wielomian, który w drugim węźle przyjmuje wartość   a w pozostałych węzłach   wartość zero.
  3. Dodaje się wartość ostatnio obliczonego wielomianu do wartości poprzedniego.
  4. Dla każdego z pozostałych węzłów znajduje się podobny wielomian, za każdym razem dodając go do wielomianu wynikowego.
  5. Wielomian będący sumą wielomianów obliczonych dla poszczególnych węzłów jest wielomianem interpolującym.

Dowód ostatniego punktu i dokładny sposób tworzenia poszczególnych wielomianów opisany jest poniżej w dowodzie istnienia wielomianu interpolującego będącego podstawą algorytmu odnajdowania tego wielomianu.

Wielomian Lagrange’aEdytuj

Postać Lagrange’a wielomianu to jedna z metod przedstawiania wielomianu, wykorzystywana często w zagadnieniach interpolacji. Dla wielomianu stopnia   wybiera się   punktów –   i wielomian ma postać:

 

Ponieważ   jest równy 1 dla   równego   (licznik i mianownik są równe), 0 zaś dla wszystkich innych   (licznik jest równy zero), można łatwo za pomocą postaci Lagrange’a interpolować dowolną funkcję:

 

Wielomian ten będzie się zgadzał z funkcją   we wszystkich punktach  

Dowód istnienia wielomianu interpolującegoEdytuj

Niech   będą węzłami interpolacji funkcji   takimi że znane są wartości  
Można zdefiniować funkcję:

 

taką że dla     jest wielomianem stopnia   (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem   wyrazów postaci  ).

Gdy   i  

 

Gdy   i  

 

(licznik = 0, ponieważ występuje element  ).

Niech   będzie wielomianem stopnia co najwyżej   określonym jako:

 

Dla  

 

Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od   są równe zeru (ponieważ dla  ), składnik o indeksie   jest równy:

 

a więc

 

z czego wynika, że   jest wielomianem interpolującym funkcję   w punktach  

Jednoznaczność interpolacji wielomianowejEdytuj

Dowód

Zakłada się, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany   i   stopnia   przyjmujące w węzłach   takie same wartości.

Niech

 

będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej   (co wynika z własności odejmowania wielomianów).

Ponieważ   i   w węzłach   interpolują tę samą funkcję, to   a więc   (węzły interpolacji są pierwiastkami  ).(*)

Ale każdy niezerowy wielomian stopnia   ma co najwyżej   pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że   ma   pierwiastków, to   musi być wielomianem tożsamościowo równym zeru, a ponieważ:

 

to

 

co jest sprzeczne z założeniem, że   i   są różne.

Błąd interpolacjiEdytuj

Dość naturalne wydaje się przyjęcie, że zwiększenie liczby węzłów interpolacji (lub stopnia wielomianu interpolacyjnego) pociąga za sobą coraz lepsze przybliżenie funkcji   wielomianem   Idealna byłaby zależność:

 

tj. dla coraz większej liczby węzłów wielomian interpolacyjny staje się „coraz bardziej podobny” do interpolowanej funkcji.

Dla węzłów równo odległych tak być nie musi → efekt Rungego.

Można dowieść, że dla każdego wielomianu interpolacyjnego stopnia   przybliżającego funkcję   w przedziale   na podstawie   węzłów, istnieje taka liczba   zależna od   że dla reszty interpolacji  

 

gdzie   a   jest liczbą zależną od  

Do oszacowania z góry wartości   można posłużyć się wielomianami Czebyszewa stopnia   do oszacowania wartości   dla   Dla przedziału   wystarczy dokonać przeskalowania wielomianu  

Zobacz teżEdytuj