Izomorfizm muzyczny

Izomorfizm muzycznyizomorfizm między wiązką styczną a wiązką kostyczną rozmaitości riemannowskiej określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

DyskusjaEdytuj

Niech   oznacza rozmaitość riemannowską, zaś   oznacza lokalny układ współrzędnych dla wiązki stycznej   z dualnym do niego koukładem   Wówczas można wyrazić lokalnie metrykę riemannowską (która jest 2-kowariantnym polem tensorowym symetrycznym i dodatnio określone) jako   Dla danego pola wektorowego   można zdefiniować jego bemol jako

 

Operację tę nazywa się „opuszczaniem wskaźnika”. Korzystając z tradycyjnej notacji nawiasów kątowych dla iloczynu skalarnego wyznaczonego przez   otrzymuje się nieco bardziej przejrzysty związek

 

dla wszystkich wektorów   oraz  

Alternatywnie, dla danego pola kowektorowego   można określić jego krzyżyk jako

 

gdzie   są elementami macierzy odwrotnej do   Branie krzyżyka pola kowektorowego nazywa się „podnoszeniem wskaźnika”.

Konstrukcja ta daje dwa wzajemnie odwrotne izomorfizmy   oraz   Są to izomorfizmy wiązek wektorowych, które dla każdego   dają odwrotne izomorfizmy przestrzeni liniowych między   oraz  

Izomorfizmy muzyczne mogą być także rozszerzone na wiązki   oraz   Należy przy tym zaznaczyć, który ze wskaźników ma być podniesiony lub opuszczony. Przykładowo niech dane będzie pole  -tensorowe   Podnosząc drugi wskaźnik uzyskuje się pole  -tensorowe  

Ślad tensora poprzez metrykęEdytuj

Niech dla danego pola  -tensorowego   będzie określony ślad   poprzez metrykę   jako

 

Należy zauważyć, że definicja śladu jest niezależna od wyboru podnoszonego wskaźnika, gdyż tensor metryczny jest symetryczny.

Zobacz teżEdytuj