Jednokładność

Jednokładność, homotetia (gr. ὁμοίως + θέσεις = pokrewieństwo) o środku $r$ i niezerowej skali $k$ – odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, określone następująco:

Obraz trójkąta $ABC$ w jednokładności
o środku $O$ i skali 5/3
$J_{O}^{\frac {5}{3}}(\triangle ABC)=\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$

$J_{r}^{k}(p)=q\quad {\mbox{ gdzie }}{\vec {rq}}=k\cdot {\vec {rp}}.$

Z definicji w szczególności wynika, że:

$J_{r}^{k}(r)=r.$

Liczba $k$ nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

Dla $k=1$ jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla $k=-1$ jednokładność jest symetrią środkową o środku $r.$ Każda jednokładność jest podobieństwem o skali $|k|.$ Dwie figury $F_{a}$ i $F_{b}$ są jednokładne, gdy istnieje punkt $r$ i niezerowa skala $k$ takie, że jednokładność przekształca figurę $F_{a}$ na figurę $F_{b}.$

Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności.

Zbiór jednokładności o wspólnym środku $r$ jest grupą, przy tym

• złożenie jednokładności $J_{r}^{l}\circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r}^{l\cdot k},$
• jednokładnością odwrotną do $J_{r}^{k}$ jest $J_{r}^{1/k},$
• jednością grupy jest tożsamość $J_{r}^{1}.$

W przypadku złożenia dwóch jednokładności $J_{s}^{l},J_{r}^{k}$ o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:

• jeśli $k\cdot l=1,$ to $J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}$ jest translacją $T_{(1-l){\vec {rs}}}$ tzn. translacją o wektor $(1-l){\vec {rs}},$
• jeśli $k\cdot l\neq 1,$ to $J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r+{\tfrac {1-l}{1-kl}}{\vec {rs}}}^{k\cdot l}.$

Ponadto dla jednokładności $J_{r}^{k},k\neq 1$ i translacji $T_{\mathbf {v} }$ o wektor $\mathbf {v}$ zachodzi:

• złożenie $J_{r}^{k}\circ T_{\mathbf {v} }$ jest jednokładnością $J_{r+{\tfrac {k}{1-k}}\mathbf {v} }^{k},$
• złożenie $T_{\mathbf {v} }\circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r+{\tfrac {1}{1-k}}\mathbf {v} }^{k}.$

Oznacza to, że zbiór jednokładności wraz ze zbiorem translacji tworzy grupę przekształceń geometrycznych. Jest ona izomorficzna z grupą dylatacji.

Bibliografia

• Marek Kordos, Lesław W. Szczerba: Geometria dla nauczycieli. 1976.