Otwórz menu główne

Kąt między dwiema krzywymi

Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich (f(x) i g(x)) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:

    dla    

Jeżeli

Wyprowadzenie wzoruEdytuj

Mamy dane 2 dowolne funkcje f(x) oraz g(x) przecinające się w punkcie x0 oraz różniczkowalne w tym punkcie. Wówczas przez punkt x0 przechodzą styczne do obydwu wykresów, tworzące pewien kąt φ. Kąt nachylenia stycznej do f(x) nazwiemy β (kąt między styczną a osią OX), kąt nachylenia stycznej do g(x) nazwiemy α.

Styczne oraz oś OX tworzy trójkąt, w którym

 

stąd mamy, że

 

więc

 

Z prawej strony zastosujemy wzór na tangens różnicy kątów i otrzymujemy:

 

Wiemy również, że

  oraz  

Podstawiając do wzoru, otrzymujemy

 

Zobacz teżEdytuj