Kąt równoległości

Kąt równoległości odpowiadający odległości $a$ – w geometrii hiperbolicznej kąt między prostopadłą, wyprowadzoną z punktu $A$ znajdującego się w odległości $d$ od prostej $p,$ a promieniem $r$ równoległym do prostej $p$ wyprowadzonym z punktu $A.$ Kąt równoległości nazywany jest także kątem Łobaczewskiego i oznaczany jest przez $\Pi (d)$.

Istnieje taka stała $R$ zależna od skali odległości w przestrzeni hiperbolicznej, że jeśli $d$ jest odległością punktu $A$ od prostej $p,$ to:

$\Pi (d)=2\operatorname {arctg} \,e^{-{\frac {d}{R}}}$.

Dwa kąty Łobaczewskiego wyprowadzone z punktu $A;$ promienie równoległe do prostej (kolor niebieski) zaznaczono kolorem purpurowym, a odcinek prostopadły – kolorem zielonym.

Jeśli $B$ jest takim punktem prostej $p,$ że odcinek $AB$ jest prostopadły do $p,$ to możemy napisać:

$\Pi (AB)=\measuredangle BAM_{\infty }=\measuredangle N_{\infty }AB,$

gdzie punkty $M_{\infty }$ i $N_{\infty }$ są punktami w nieskończoności.

Kąty Łobaczewskiego w modelu Poincarégo oznaczone purpurową literą α.

Własności

• Wzór na kąt równoległości można też zapisać następująco:

$\operatorname {tgh} \,{\frac {d}{R}}=\cos \Pi \,(d).$

Wystarczy w tym celu do wzoru

$\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

podstawić $\alpha =\Pi (d),$ a następnie skorzystać ze wzoru

$\operatorname {tg} {\frac {\Pi (d)}{2}}=e^{-{\frac {d}{R}}}$

oraz licznik i mianownik powstałego ułamka pomnożyć przez $e^{\frac {d}{R}}.$

• Z punktu $A$ można wyprowadzić dwa różne promienie równoległe do prostej $p.$ Oba te promienie są położone symetrycznie względem prostopadłej do prostej $p$ poprowadzonej z punktu $A$ i dlatego tworzą z tą prostopadłą ten sam kąt $\Pi (AB)$.
• Na rysunku mamy dwa przystające trójkąty asymptotyczne prostopadłe: $ABN$ i $ABM.$ Z własności trójkątów asymptotycznych prostopadłych wynika, że $\Pi (AB)$ jest funkcją.
• Jeśli $AB>CD,$ to $\Pi (AB)<\Pi (CD).$ Zatem funkcja $\Pi (x)$ jest funkcją różnowartościową.
• Trójkąt NAM jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Kąt przy wierzchołku $A$ jest równy $2\Pi (AB).$ Pozostałe kąty zgodnie z twierdzeniem Bolyai są kątami zerowymi.
• $\lim _{d\to 0}\Pi (d)={\frac {\pi }{2}},\lim _{d\to \infty }\Pi (d)=0$.

Zobacz też

• równoległość w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny
• defekt trójkąta
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej

Bibliografia

• Kulczycki S.: Geometria nieeuklidesowa. Warszawa: PWN, 1956.brak strony w książce
• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.brak strony w książce
• Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982.brak strony w książce