Otwórz menu główne

Kąty Eulera – układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwóch kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera.

Definicja formalnaEdytuj

 
Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych   można otrzymać z danego układu   przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest kwestią konwencji.

(1) Załóżmy najpierw, że osie   i   nie są równoległe, a zatem płaszczyzna   jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś   na oś   jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów   tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny   w punkcie   Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi   i   jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny   i   Tak więc układ   można nałożyć na   dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

  1. obrót wokół osi   taki by oś   pokryła się z linią węzłów  
  2. obrót wokół osi     taki by oś   pokryła się z osią  
  3. obrót wokół osi     taki by oś   pokryła się z osią   (wtedy też oś   pokryje się z osią  ).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o  ) prowadzące do ustawienia osi   wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi   i     (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu  

Poszczególne kąty Eulera   parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

  •   – kąt mierzony od osi   do osi węzłów   w kierunku wyznaczonym osią   jest to kąt obrotu 1.
  •   – kąt mierzony od osi węzłów   do osi   w kierunku wyznaczonym osią   jest to kąt obrotu 3.
  •   – kąt mierzony od osi   do   w kierunku wyznaczonym osią węzłów   jest to kąt obrotu 2.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi   można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów  

(2) Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie   i   są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna   i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś   można przekształcić na oś   w wyniku obrotu (o kąt   lub   zależnie od zwrotu osi  ) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt   i leżącej w płaszczyźnie   Mamy zatem   lub   a ustawienie osi     jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów   i  

Związek z macierzą obrotuEdytuj

Macierze obrotów 1., 2. i 3. mają we współrzędnych   postaci:

 

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu   do   przedstawia się następująco:

 

Jest to specjalna macierz ortogonalna, tj. macierz ortogonalna o wyznaczniku równym jedności.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj