Otwórz menu główne

Kategoria (matematyka)

pojęcie matematyczne

Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta ze względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane’a[1].

DefinicjaEdytuj

Formalnie każda kategoria   składa się z dwóch klas[a][2]:

  • klasy   której elementy nazywamy obiektami kategorii  
  • klasy   której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii   przy czym spełnione mają być następujące warunki:
    • każdej parze uporządkowanej   dwóch obiektów   przyporządkowana jest klasa   morfizmów z   do   oznaczana też czasem     lub   Jeżeli   to obiekt   nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu   a   – jego końcem lub kodziedziną; zamiast   pisze się też  
    • każdy morfizm   należy do tylko jednej klasy  
    • w klasie   określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów     jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy   gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru   Nazywamy go złożeniem morfizmów   i   oraz oznaczamy   lub  
    • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli     oraz   to wówczas  
    • do każdego   należy taki morfizm   że dla dowolnych morfizmów   i   mamy   oraz   Morfizmy   nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli   to piszemy   i  

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów   klasa   jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

PrzykładyEdytuj

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.

  • Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór.   jest zbiorem odwzorowań zbioru   w zbiór   Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
  • Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy.   jest zbiorem homomorfizmów grupy   w grupę   Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami.   jest zbiorem homomorfizmów grupy   w grupę   Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria VectK, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem   a morfizmy są odwzorowaniami  -liniowymi.   jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni   w przestrzeń   Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
  • Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające.   jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni   w przestrzeń   Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
  • Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe.   jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni   w przestrzeń   Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
  • Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
  • Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru   w zbiór   są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru   złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
  • Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu)   istnieje morfizm z   do   wtedy i tylko wtedy, gdy   Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu   a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
  • Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.

Do każdej kategorii   można utworzyć jej kategorię dualną  

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Takie sformułowanie wymaga odpowiedniego systemu aksjomatów teorii mnogości, aby uniknąć antynomii zbioru wszystkich zbiorów; p. Teoria kategorii, część Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.

PrzypisyEdytuj

  1. Eilenberg i Mac Lane 1945 ↓.
  2. Советская энциклопедия, t. 2, op. cit., s. 761.

BibliografiaEdytuj

  • S. Eilenberg, S. Mac Lane. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 58, s. 231–294, 1945. Amer. Math. Soc.. 
  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
  • Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). [dostęp 2011-08-26].