Kategoria przestrzeni topologicznych

Kategoria przestrzeni topologicznychkategoria, często oznaczana której obiektamiprzestrzenie topologiczne, a morfizmamiprzekształcenia ciągłe. Jest to dobrze określona kategoria, ponieważ złożenie dwóch funkcji ciągłych jest ciągłe. Badanie oraz własności przestrzeni topologicznych za pomocą technik teorii kategorii znane jest jako topologia kategoryjna.

Uwaga: niektórzy autorzy symbolem oznaczają kategorię z rozmaitościami topologicznymi jako obiektami i przekształceniami ciągłymi jako morfizmami.

Kategoria konkretnaEdytuj

Kategoria   jest kategorią konkretną (która znana jest również jako konstrukt), co oznacza, że jej obiektami są zbiory z dodatkową strukturą (tzn. topologiami), a morfizmami są funkcje zachowujące tę strukturę. Istnieje naturalny funktor zapominania

 

w kategorię zbiorów, która przypisuje każdej przestrzeni topologicznej zbiór, na którym została określona, a każdemu przekształceniu ciągłemu funkcję, która je definiuje.

Funktor zapominania   ma tak sprzężenie lewostronne

 

które wyposaża dany zbiór w topologię dyskretną, jak i sprzężenie prawostronne

 

które wyposaża dany zbiór w topologię antydyskretną. Oba te funktory są w rzeczywistości prawostronnymi odwrotnościami   co oznacza, że   oraz   są równe funktorowi tożsamościowemu na   Więcej, ponieważ dowolna funkcja między przestrzeniami dyskretnymi, czy antydyskretnymi jest ciągła, to oba te funktory dają pełne zanurzenia   w  

Konstrukt   jest także zupełnym ze względu na włókna, tzn. kategoria wszystkich topologii na danym zbiorze   nazywana włóknem   nad   tworzy kratę zupełną ze względu na zawieranie. Elementem największym tego włókna jest topologia dyskretna na   zaś elementem najmniejszym jest topologia antydyskretna.

Konstrukt   jest modelem tzw. kategorii topologicznej. Kategorie te charakteryzują się tym, że każda dziedzina ustrukturyzowana (ang. structured source)   ma jednoznacznie wyznaczone podniesienie początkowe (ang. initial lift)   Podniesienie początkowe w   uzyskuje się przez przyjęcie topologii początkowej w dziedzinie. Kategorie topologiczne mają wiele dobrych własności wspólnych z   (takich jak zupełność ze względu na włókna, funktory dyskretny i antydyskretny, jednoznaczność podniesienia granic).

Granice i kograniceEdytuj

Kategoria   jest zarazem zupełna i kozupełna, co oznacza, że w   istnieją wszystkie małe granice i kogranice. Istotnie, funktor zapominania   jednoznacznie podnosi tak granice, jak i kogranice, a przy tym je zachowuje. Stąd (ko)granice w   dane są poprzez przyjęcie topologii w odpowiednich (ko)granicach w  

Dokładniej, jeśli   jest diagramem w   zaś   jest granicą   w   to odpowiadającą jej granicę   w   uzyskuje się przyjmując topologię początkową na   Dualnie, kogranice w   uzyskuje się poprzez przyjęcie topologii końcowej w odpowiednich kogranicach w  

W przeciwieństwie do wielu kategorii algebraicznych funktor zapominania   nie tworzy, a nie zachowuje granic, ponieważ zwykle znajdą się nieuniwersalne stożki w   które pokrywać będą stożki uniwersalne w  

Wśród przykładów granic i kogranic w   można wymienić:

Inne własnościEdytuj

Związki z innymi kategoriamiEdytuj

  • Kategoria przestrzeni z wyróżnionym punktem   jest kopłatem kategorii (ang. coslice category) pod  
  • Kategoria homotopii przestrzeni topologicznych   ma za obiekty przestrzenie topologiczne, morfizmami w niej są z kolei klasy równoważności homotopii przekształceń ciągłych. Jest to kategoria ilorazowa   Można podobnie zdefiniować kategorię homotopii z wyróżnionym punktem  
  • Kategoria   zawiera ważną kategorię   przestrzeni topologicznych mających własność Hausdorffa jako pełną podkategorię. Należy zauważyć, że struktura dodana tej podkategorii generuje więcej epimorfizmów: w istocie są to dokładnie te morfizmy, które mają gęste obrazy w przeciwdziedzinach; epimorfizmy nie muszą być zatem surjektywne.

BibliografiaEdytuj

  • Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
  • Herrlich, Horst: Categorical topology 1971 - 1981. W: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, ss. 279 - 383.
  • Herrlich, Horst i Strecker, George E.: Categorical Topology - its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. W: Handbook of the History of General Topology (red. C. E. Aull i R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. tom 1 (1997) ss. 255 - 341.
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst i Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Pierwotnie wydane przez John Wiley & Sons. ​ISBN 0-471-60922-6​. (teraz darmowe wydanie on-line).