Klasyczny oscylator harmoniczny

Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym

bądź równoważnie jako układ, w którym działa liniowa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem

Jednowymiarowe oscylatory harmoniczneEdytuj

Definicja oscylatora harmonicznegoEdytuj

Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego

 

gdzie:

 przyspieszenie zależne od czasu,
  – położenie zależne od czasu,
  – częstość kołowa drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe

 

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką

 

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

Rozwiązanie równania oscylatoraEdytuj

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

gdzie   to stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.

  jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań   wynosi

 

natomiast częstotliwość drgań   wynosi

 

Lagranżjan oscylatoraEdytuj

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać

 

gdzie:

  – prędkość uogólniona,
  – położenie uogólnione.

Reszta oznaczeń bez zmian.

Hamiltonian oscylatora harmonicznegoEdytuj

Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać

 

gdzie:

  – pęd uogólniony,
  – położenie uogólnione.

Przykłady oscylatorówEdytuj

Wahadło matematyczneEdytuj

Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci

 

Dla małych kątów   a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego

 
 

gdzie:

  – przyspieszenie kątowe,
  – kąt odchylenia z położenia równowagi,
  – długość wahadła,
  – przyspieszenie ziemskie.

Ciało na sprężynieEdytuj

Osobny artykuł: Masa na sprężynie.
 
Ciężarek o masie m na sprężynie

Ciało o masie   przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia  

 

Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie   Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi   otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego

 

gdzie:

  – wychylenie ciężarka z położenia równowagi,
  – przyspieszenie ciężarka,
  – masa ciężarka,
  – stałą sprężystości sprężyny.

Dla ciężarka o masie   wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym   i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

Oscylator harmoniczny tłumionyEdytuj

W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać

 

Oscylator harmoniczny wymuszonyEdytuj

Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.

Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.

 

gdzie:

  – częstość drgań własnych.

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych  

Dlatego analizę równania można ograniczyć do

 

gdzie:

  – częstość siły wymuszającej,
  – amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,
  – współczynnik tłumienia.

W przypadku, gdy   uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że   równanie oscylatora prostego.

Zobacz teżEdytuj