Koło Mohra

Koło Mohra (koło naprężeń) – graficzna reprezentacja (rys. 1) stanu naprężenia[1][2], opracowana przez niemieckiego inżyniera Christiana Mohra.

Rys. 1 – koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia. Punkt reprezentujący naprężenia normalne i styczne działające w przekroju dowolnie zorientowanym leży w zielonym obszarze.

Uwagi ogólneEdytuj

Koło Mohra pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń normalnych i stycznych w dowolnym kierunku[3], a także określić naprężenia główne i kierunki główne. Koło Mohra wykorzystuje się także w transformacji płaskiego stanu naprężenia oraz do określenia momentu bezwładności po obrocie układu współrzędnych, ze względu na podobieństwo wzorów matematycznych, które opisują te transformacje.

Koło Mohra, mimo że jest konstrukcją graficzną, pozwala, na podstawie danych liczbowych obliczać wartości naprężeń na podstawie prostych związków geometrycznych[1].

Płaski stan naprężeniaEdytuj

Koło Mohra jest wygodnym narzędziem analizy płaskiego stanu naprężenia w wybranym punkcie   ośrodka sprężystego[4]. Najczęściej jego konstruowanie odbywa się na podstawie znajomości naprężeń normalnych   i stycznych   występujących w tym punkcie i działających na półpłaszczyzny   i   określone przez ich wersory    (rys. 2a-c).

 
Rys. 2a – koło Mohra i naprężenia  

Koło budujemy w układzie współrzędnych  [2]. Jego środek ma w tym układzie współrzędne   promień zaś ma długość   (rys. 2a). Na tym rysunku kierunek wersora   określa prosta wyznaczona przez punkty   przy czym współrzędne punktu   określają naprężenia   działające na punkt   półpłaszczyzny   (rys. 2b). Po obrocie wersora o kąt   przyjmuje on pozycję   W tym przypadku punkt   ma współrzędne   określające stan naprężenia w punkcie   półpłaszczyzny   (rys. 2c).

Jest istotne, że kąty są odmierzane od kierunku osi   czyli od kierunku wersora wskazującego kierunek naprężenia głównego   (rys. 2a)[4].

 
Rys. 2b-e – naprężenia w punkcie   półpłaszczyzn  

Rysunki 2b-e ilustrują stany naprężeń występujące w punkcie   półpłaszczyzn   o wersorach  

Warto zauważyć, że obrotowi wersora   o kąt   odpowiada pełne okrążenie punktu   po okręgu Mohra. Wynika stąd, że dalszemu obrotowi wersora odpowiada powtórny obieg punktu   po tym okręgu.

W przypadku obciążenia hydrostatycznego, tzn. gdy   koło Mohra redukuje się do punktu  

Gdy   środek koła   pokrywa się z początkiem   układu współrzędnych   Wówczas w punkcie   na półpłaszczyznach   i   naprężenia normalne mają wartości zerowe, a naprężenia styczne – wartości ekstremalne   Jest to przypadek czystego ścinania w punkcie  [4].

Płaski „stan bezwładności”Edytuj

 
Rys. 3 – koło Mohra dla momentów bezwładności  

Koło Mohra może być także wykorzystane (rys. 3a) do opisu związków zachodzących pomiędzy momentami bezwładności   i momentami dewiacyjnymi   dowolnej figury płaskiej[4], liczonymi względem układu współrzędnych   (rys. 3b-c). Przy tym obliczeniu figura zajmuje położenie określone wersorem tej osi głównej, centralnej, względem której główny moment bezwładności ma mniejszą wartość.

Elipsa bezwładnościEdytuj

Na podstawie konstrukcji koła Mohra można podać alternatywny sposób obliczania momentu bezwładności   dowolnej figury płaskiej[4] względem osi odchylonej o kąt   od kierunku centralnej osi głównej (1).

 
Rys. 4 – elipsa i promienie bezwładności  

Wprowadźmy do rozważań nową wielkość – tzw. promień bezwładności   liczony prostopadle do osi   od środka elipsy do jej stycznej   poprowadzonej w punkcie   (rys. 4). Jest on określony wzorem

 

w którym   oznacza pole rozważanej figury.

Zbudujmy teraz tzw. elipsę bezwładności[4] o półosiach mających długość głównych promieni bezwładności

  (rys. 4).

W tym celu skorzystamy ze wzoru wynikającego z rys. 3.

 

Stąd dla promieni bezwładności mamy

(a)    

Powstaje jednak pytanie, czy wielkość   obliczona tym wzorem jest istotnie promieniem bezwładności względem osi  

Obliczmy odległość   osi   od stycznej   (rys. 4).

Wykorzystamy w tym celu dwa równania elipsy

 
 

Związek pomiędzy kątami   i   otrzymamy, obliczając pochodną funkcji   w kierunku stycznej w punkcie  

 

Stąd

(b)    

Teraz możemy napisać (na podstawie rys. 4)

 

Po wykorzystaniu związków (b) i (a) i prostych przekształceniach otrzymujemy

 

Zatem istotnie   jest prostopadłą odległością   pomiędzy osią   a styczną   (rys. 4), czyli jest, zgodnie z definicją, promieniem bezwładności względem tej osi[4].

Rdzeń przekrojuEdytuj

Rozważmy przekrój poprzeczny pręta prostego, poddanego ściskaniu (lub rozciąganiu) mimośrodowym siłą skupioną   działającą na mimośrodach   i   (rys. 5) liczonych względem centralnych głównych osi bezwładności przekroju[4].

W przekroju takim można wyróżnić obszar, nazywany jego rdzeniem lub jądrem, o tej własności, że działanie siły w tym obszarze wywołuje naprężenia stałego znaku w całym przekroju poprzecznym. Naprężenia te można obliczyć wzorem

 

w którym:

  – pole powierzchni przekroju poprzecznego,
  – jego promienie bezwładności,
  – współrzędne punktu przyłożenia siły  
  – współrzędne punktu, w którym obliczane są naprężenia.

Równanie osi obojętnej ma postać[4]

(1)    

z której wynika, że każdej stycznej   do konturu przekroju poprzecznego odpowiada pewien punkt przyłożenia siły  

Jeżeli zbudujemy obwiednię   konturu przekroju poprzecznego w postaci linii łamanej złożonej z odcinków stycznych do tego konturu, to z równania (1) wynika również, że każdemu wierzchołkowi   obwiedni   odpowiada prosta   po której porusza się punkt   gdy styczna obraca się wokoło wierzchołka  

Rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą. Mieści się ona zawsze wewnątrz obwiedni (obrysu) konturu przekroju.

PrzykładEdytuj

 
Rys. 5 – rdzeń przekroju; linią przerywaną zaznaczono fragment obwiedni (obrysu) przekroju

Dla przykładu wyznaczymy kontur rdzenia przekroju poprzecznego pokazanego na rys. 5. Ponieważ dla tego przekroju mamy

 
 

więc równanie (1) przybiera postać (2)    

w której   są współrzędnymi wierzchołka obwiedni przekroju poprzecznego.

Dla wierzchołka   tej obwiedni mamy   i   i z równania (2) otrzymujemy równanie prostej   równoległej do osi  

 

Dla wierzchołka   mamy   i równanie (2) przybiera postać

(3)    

Jest to równanie linii konturowej   rdzenia, którą wyznaczymy na podstawie dwu znanych jej punktów o współrzędnych   oraz  

Dla wierzchołka   mamy   i otrzymujemy równanie (2) o postaci

(4)    

Linię konturową   rdzenia określają punkty   oraz  

Wyznaczone trzy linie konturowe   opisują kształt połowy rdzenia (rys. 5). Druga połowa jest symetryczna względem osi   ze względu na symetrię przekroju poprzecznego.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że ustawieniu siły   w narożu   konturu rdzenia odpowiada styczna   do konturu przekroju. Pokażemy to przykładowo dla naroża   Jego współrzędne określimy, znajdując punkt przecięcia się prostych   i  

Prosta     prosta    

Podstawiając   do   otrzymujemy  

Jeżeli teraz współrzędne naroża   podstawimy do równania (2), to otrzymamy równanie stycznej   do konturu przekroju

 

Styczna ta przechodzi przez dwa punkty

  oraz  

i jak wynika z rys. 5, również przez naroża   przekroju poprzecznego.

Jak widać, istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość: wierzchołkowi obwiedni przekroju poprzecznego odpowiada prosta konturu rdzenia i odwrotnie – wierzchołkowi rdzenia odpowiada styczna do konturu przekroju poprzecznego.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Г.С. Писаренко, Сопротивлене материалов, Гос. Издат. Технической литературы УССР, Киев 1963.
  2. a b С.П. Тимошөнҝо, Сопротивлене материалов, Физматгиз, Мосқва 1960.
  3. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków, 1980.
  4. a b c d e f g h i N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Warszawa, 1954, Wyd. Ministerstwa Obrony Narodowej.