Otwórz menu główne

Komutator (matematyka)

Teoria grupEdytuj

Komutator dwóch elementów   i   należących do grupy   to element

 

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy   i   komutują (czyli są przemienne, tzn.  ). Podgrupa grupy   generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy   Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga
Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako
 

TożsamościEdytuj

W tej sekcji wyrażenie   oznacza sprzężony (przez  ) element  

  •  
  •  
  •  
  •  

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga
Powyższa definicja sprzężenia   przez   używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie   przez   jako   zwykle zapisuje się to jako  

Teoria pierścieniEdytuj

Komutator dwóch elementów   i   pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

 

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy   i   są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

TożsamościEdytuj

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

  •  
  •  
  •  

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Jeżeli   jest ustalonym elementem pierścienia   pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania   danego wzorem   Innymi słowy, odwzorowanie   definiuje różniczkowanie w pierścieniu  

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

  •  

PrzykładEdytuj

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy   który przekształca funkcję w jej pochodną oraz   który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej   przebiega jak następuje:

  •   ponieważ  
  •  

Odjęcie tych równań stronami daje:

 
 

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez   jest

 
  czyli  

Stąd wynik zastosowania obu operatorów   i   na funkcję   zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacjąEdytuj

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako  

RóżniczkowaniaEdytuj

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

 

Wówczas   jest różniczkowaniem, a   jest liniowe, np.   oraz   i homomorfizmem algebry Liego, np.   ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość   w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

  •  
  •  

Komutator w fizyceEdytuj

Komutator jest często używany w fizyce kwantowej:

AntykomutatorEdytuj

Antykomutator   lub   definiowany jest jako   Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus  

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn.  

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym   odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj