Koneksja Levi-Civity

Koneksja (spójność, połączenie) Levi-Civity – metoda obliczania przesunięcia równoległego wektorów i tensorów zdefiniowana na wiązce stycznej rozmaitości, która zachowuje metrykę (tzn. i jest pozbawiona torsji (skręcenia)), podana przez Levi-Civitę.

Przesuwanie równoległe wektora według procedury Leviego-Civity

Transport zadany metryką $ds^{2}=dr^{2}+d\varphi ^{2}$

Przesuwanie równoległe wektora według procedury Leviego-Civity

Transport zadany metryką $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}$

Podstawowe twierdzenie geometrii Riemanna stwierdza, że dla każdej rozmaitości riemannowskiej i pseudoriemannowskiej istnieje unikatowe połączenie o takich właściwościach.

Pojęcie połączenia Levi-Civity łączy się ściśle z pojęciem pochodnej kowariantnej na rozmaitości. Składowe tego połączenia w odniesieniu do lokalnego układu współrzędnych nazywane są symbolami Christoffela.

Definicja formalna

Załóżmy, że $(M,g)$ jest rozmaitością riemannowską. Połączenie afiniczne $\nabla$ jest nazywane połączeniem Levi-Civity, gdy:

1. zachowuje metrykę, tzn. pochodna kowariantna tensora metrycznego jest równa zeru:

$\nabla g=0.$

Równoważnie, gdy zachodzi równość $X(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$ dla dowolnych stycznych pól wektorowych $X,Y,Z.$

2. nie ma skręcenia, tj. dla dowolnych stycznych pól wektorowych $X,Y$ mamy

$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],$

gdzie $[X,Y]$ to nawias Liego pól wektorowych $X$ oraz $Y.$

Warunek 1 jest nazywany kompatybilnością z metryką, a warunek 2 nazywany jest symetrią.

Motywacja

Jako pierwszy przykład rozważmy przestrzeń euklidesową $\mathbb {R} ^{n}$ z bazą standardową $e_{1},\dots ,e_{n}$ i standardową metryką $g(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},$ w której baza standardowa jest ortonormalna. Dla dwóch pól stycznych $X=\sum _{i}X^{i}e_{i},$ $Y=\sum _{j}Y^{j}e_{j}$ określamy standardowe połączenie euklidesowe wzorem:

${\overline {\nabla }}_{X}Y:=\sum _{i,j}X^{i}\partial _{i}Y^{j}e_{j}.$

Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że określone powyżej przekształcenie ${\overline {\nabla }}$ jest połączeniem afinicznym oraz spełnia warunki 1 i 2 na połączenie Levi-Civity.

W drugiej kolejności rozważmy gładką podrozmaitość ${\mathcal {M}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ z metryką dziedziczoną z otaczającej przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$ Połączenie afiniczne na ${\mathcal {M}}$ można łatwo określić, korzystając z ${\overline {\nabla }}$ – dla pól stycznych $X,Y$ na ${\mathcal {M}}$ możemy mianowicie dobrać dowolne przedłużenia do pól stycznych na $\mathbb {R} ^{n}$ i zadać

$\nabla _{X}Y:=\pi ^{\top }({\overline {\nabla }}_{X}Y),$

gdzie $\pi _{p}^{\top }\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to T_{p}{\mathcal {M}}$ jest rzutem ortogonalnym na przestrzeń styczną do ${\mathcal {M}}.$ Łatwo się przekonać, że określenie $\nabla _{X}Y$ nie zależy od dokonanego wyboru przedłużeń. Nietrudno też sprawdzić, że jest to połączenie Levi-Civity.

Korzystając z twierdzenia Nasha o zanurzeniu izometrycznym, powyższą konstrukcję można wykorzystać do zadania połączenia Levi-Civity na dowolnej rozmaitości riemannowskiej, bez formułowania aksjomatów 1 i 2. Pozostaje jednak problem jednoznaczności (należy wykluczyć sytuację, gdy dwa zanurzenia izometryczne dają różne koneksje) i problem praktycznego opisu koneksji Levi-Civity. Dlatego istnienie i jednoznaczność łatwiej uzyskać na podstawie opisu aksjomatycznego, co opisuje następna sekcja.

Istnienie i jednoznaczność

Załóżmy teraz, że $(M,g)$ jest rozmaitością riemannowską. Sprawdzimy najpierw, że istnieje najwyżej jedno połączenie Levi-Civity.

Rozważmy trzy pola styczne $X,Y,Z.$ Z warunku 1 oraz własności symetrii tensora metrycznego $g$ otrzymuje się

${\begin{aligned}X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(Y,X))&=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)\\&=2g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)\end{aligned}}$

Na mocy warunku 2 prawa strona równania jest równa

$2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),$

więc

$g(\nabla _{X}Y,Z)={\frac {1}{2}}{\big (}X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))$$-Z(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\big )}.$

Iloczyn skalarny $\nabla _{X}Y$ z $Z$ jest więc jednoznacznie wyznaczony w terminach samej metryki. Ponieważ pole $Z$ można wybrać dowolnie, powyższa równość determinuje pole $\nabla _{X}Y.$

Istnienie połączenia Levi-Civity również wynika z powyższych rozważań. Mianowicie przyjmując ostatnią linię jako definicję $\nabla _{X}Y$ można sprawdzić, że wyrażenie tak zdefiniowane spełnia warunki na połączenie Levi-Civity.

Zobacz też

• przeniesienie równoległe
• Tullio Levi-Civita

Bibliografia

• Kobayashi: Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons, 1963. ISBN 0-470-49647-9.Sprawdź autora:1.brak strony w książce