Kongruencja (algebra)

Ten artykuł dotyczy pojęcia algebraicznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Kongruencja a. przystawanierelacja równoważności określona w danym systemie algebraicznym. Jedną z najbardziej znanych kongruencji jest przystawanie liczb całkowitych.

WprowadzenieEdytuj

W algebrze wprowadza się pojęcie jądra homomorfizmu będące dalekim uogólnieniem rozwiązań równania opisywanego przez ten homomorfizm. Jest to naturalnie pojawiające się pojęcie w teorii grup: jądra homomorfizmu danej grupy w inną mają swoją własną nazwę – podgrupa normalna albo dzielnik normalny. Podobnie w teorii pierścieni jądro homomorfizmu danego pierścienia w inny nazywa się ideałem tego pierścienia. Istotą pojęć podgrupy normalnej i ideału jest to, że dla danej grupy czy pierścienia całkowicie wyznaczają one obraz tego homomorfizmu.

Pojęcie jądra homomorfizmu danej grupy (a więc także jej podgrupy normalnej) umożliwia zdefiniowanie „ilorazu” danej grupy przez to jądro (przez jej podgrupę normalną), który sam jest grupą o identycznej strukturze, co obraz homomorfizmu tej grupy – jest to tzw. grupa ilorazowa; podobnie ma się rzecz dla jąder homomorfizmów pierścieni (czyli ich ideałów), gdzie rozważa się tzw. pierścienie ilorazowe. O tożsamości (izomorficzność) struktury ilorazowej i obrazu danego homomorfizmu mówi twierdzenie o izomorfizmie.

Opisana wyżej dla grup i pierścieni sytuacja jest szczególna: nie istnieje pojęcie jądra dla ogólnych systemów algebraicznych albo, jak ma to miejsce w przypadku półgrup (z jedynką), naturalnie zdefiniowane jądro homomorfizmu nie wyznacza jednoznacznie relacji równoważności wiążącej dwa elementy pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy homomorficzne są sobie równe (jedna z definicji jądra). Zawsze jednak można na podstawie tej relacji odtworzyć jądro danego homomorfizmu. Zastąpienie pojęcia jądra pojęciem wyżej opisanej relacji równoważności umożliwia rozszerzenie wyników obowiązujących w grupach i pierścieniach na dowolne systemy algebraiczne. W szczególności możliwe jest sformułowanie twierdzenia o izomorfizmie systemów algebraicznych będących obrazami danych homomorfizmów o identycznych relacjach równoważności opisanych jak wyżej.

DefinicjaEdytuj

Relację równoważności   określoną na zbiorze   na którym istnieje pewna struktura algebraiczna, nazywa się kongruencją lub przystawaniem, gdy dla dowolnego (dwuargumentowego) działania   tego systemu i dowolnych jego elementów   spełniony jest warunek

 

WłasnościEdytuj

Kongruencja na   jest relacją równoważności   zdefiniowaną wzorem

 

gdzie   jest homomorfizmem  

Niech   będą systemami algebraicznymi i niech dane będą epimorfizmy   i   Jeśli relacja   pokrywa się z relacją   to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm   że  

Określając w zbiorze ilorazowym   dla każdego działania   systemu   działanie  

 

wprowadza się w nim strukturę ilorazowego systemu algebraicznego (algebry ilorazowej). Ma on strukturę izomorficzną z systemem   będącym obrazem systemu   w przekształceniu   (por. twierdzenia o izomorfizmie dla algebr).

PrzykładyEdytuj

Konstrukcja ta pojawia się:

W szczególności są to: