Konstrukcja Kochańskiego

Konstrukcja Kochańskiego – przybliżona metoda rektyfikacji okręgu, czyli wykreślenia odcinka o długości równej połowie obwodu danego okręgu zaproponowana w 1685 roku przez polskiego matematyka Adama Adamandego Kochańskiego. Pozwala na przybliżone wykreślenie odcinka $\pi$ razy dłuższego niż dany odcinek.

Wzorowana na oryginalnym rysunku Kochańskiego z Acta Eruditorum ilustracja jego przybliżonej rektyfikacji okręgu

Opis konstrukcji

• Kreślimy okrąg o środku w punkcie $P_{1}$ i promieniu $r.$
• Kreślimy średnicę okręgu ${\overline {P_{2}P_{3}}}.$
• Kreślimy styczną do okręgu w punkcie $P_{2}.$
• Kreślimy okrąg (łuk okręgu) o środku w punkcie $P_{2}$ i promieniu $r.$ Punkt przecięcia (jeden z dwóch możliwych) oznaczamy jako $P_{4}.$
• Kreślimy okrąg (lub łuk okręgu) o środku w punkcie $P_{4}$ i promieniu $r.$ Punkt przecięcia okręgów o środkach $P_{2}$ i $P_{4}$ różny od punktu $P_{1}$ oznaczamy jako $P_{5}.$ Punkty $P_{1}$ i $P_{5}$ wyznaczają symetralną odcinka ${\overline {P_{2}P_{4}}}.$
• Punkt przecięcia ${\overline {P_{1}P_{5}}}$ ze styczną do okręgu w punkcie $P_{2}$ oznaczamy jako $P_{6}.$
• Na tej prostej (na stycznej $P_{2}P_{6}$) odkładamy 3-krotnie odcinki długości $r$ z punktu $P_{6}$ w stronę punktu $P_{2},$ uzyskując kolejno punkty $P_{7},$ $P_{8},$ $P_{9}.$
• Odcinek ${\overline {P_{3}P_{9}}}$ ma długość w przybliżeniu równą $\pi r$

$|P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141\,533\,338\,7\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.$

Odcinek ${\overline {P_{1}P_{5}}}$ jest przedłużeniem wysokości trójkąta równobocznego $P_{1}P_{4}P_{2},$ co oznacza, że tworzy on kąt 30° z odcinkiem ${\overline {P_{2}P_{3}}}$.

Oszacowanie błędu względnego

$\left|\pi -{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\right|\approx 0{,}00005\,93148\,847.$

Zatem błąd pojawia się dopiero na piątym miejscu po przecinku. Takie przybliżenie zwykle w praktycznych zastosowaniach jest wystarczające.

Kwadratura koła oparta na konstrukcji Kochańskiego

Na podstawie konstrukcji Kochańskiego możliwa jest również przybliżona kwadratura koła. Ilustruje to poniższy rysunek.