Kontrakcja (matematyka)

Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie z przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną dla którego istnieje stała rzeczywista taka, że dla dowolnych zachodzi nierówność

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

CiągłośćEdytuj

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

Twierdzenie BanachaEdytuj

Jeśli   jest kontrakcją z niepustej przestrzeni zupełnej   w siebie, to twierdzenie Banacha o kontrakcji orzeka, że   ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu   ciąg   jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

Zobacz teżEdytuj