Konwencje w teoriach relatywistycznych

Konwencje w teoriach relatywistycznych – konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach, stosowane w teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej).

Konwencja sumacyjna Einsteina

Konwencja sumacyjna Einsteina to skrócony zapis, w którym pomija się znak sumowania $\sum ,$ jeżeli w wyrażeniu po znaku sumy występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i symbole z indeksami dolnymi lub jeden symbol o tych dwóch indeksach, np. $\sum _{j=0}^{3}g_{ij}A^{j}=g_{ij}A^{j}$ – indeksem sumacyjnym (niemym) jest $j.$

Tensor metryczny

(1) Tensor metryczny danego układu współrzędnych krzywoliniowych:

$g^{\mu \nu }$ – składowe kontrawariantne tensora metrycznego

$g_{\mu \nu }$ – składowe kowariantne tensora metrycznego

(2) Wyznacznik kowariantnego tensora metrycznego $g_{\mu \nu }$ tradycyjnie oznacza się literą $g,$ tj.

$g\equiv \det(g_{\alpha \beta })$

(3) Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany macierzą odwrotną do macierzy tensora kowariantnego, tj.

$[g^{\mu \nu }]=[g_{\mu \nu }]^{-1}$

Indeksy greckie

Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego ($\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots ,\mu ,\nu ,\tau$ itp.) przebiegają wszystkie możliwe wartości, zależnie od wymiaru $n$ przestrzeni, w której rozważa się tensory.

a) W czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową, indeksy przebiegają 4 wartości; tradycyjnie używa się liczb z zakresu $\{0,1,2,3\}$ (lub $\{1,2,3,4\}$), np.

• $x_{\nu }$ – składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
  • $x_{0}$ – składowa czasowa
  • $x_{1},x_{2},x_{3}$ – składowe przestrzenne
• $p_{\mu }$ – składowe kowariantne czterowektora pędu, przy czym:
  • $p_{0}$ – składowa czasowa,
  • $p_{1},p_{2},p_{3}$ – składowe przestrzenne

b) Ogólnie, dla przestrzeni $n$-wymiarowych indeksy przyjmują $n$ wartości, np. ze zbioru $\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ lub $\{1,2,\dots ,n\}.$

Indeksy łacińskie

Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego, np. $i,j,k$ przebiegają zbiór wartości $\{1,2,3\}.$

Tensory indeksowane w ten sposób są tensorami zdefiniowanymi nad przestrzenią 3-wymiarową.

Np.

$x_{i}$ – składowe przestrzenne 3-wektora położenia, $i=1,2,3$

$p_{i}$ – składowe przestrzenne 3-wektora pędu, $i=1,2,3$

$T_{ij}$ – składowe przestrzenne tensora napięć-energii, $i,j=1,2,3$

Podnoszenie/opuszczanie wskaźników

(1) Aby opuścić wskaźnik wektora (ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z górnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kowariantny

$V_{\mu }=g_{\mu \nu }V^{\nu }$

(2) Aby podnieść wskaźnik wektora (lub ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z dolnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kontrawariantny

$V^{\mu }=g^{\mu \nu }V_{\nu }$

Pochodna cząstkowa i kowariantna

W układach krzywoliniowych nieortogonalnych sama pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego – dlatego definiuje się tzw. pochodną kowariantną, która ma charakter tensorowy (jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych).

Oznaczenia:

• w teorii względności:
  • pochodna cząstkowa 1-go rzędu – przecinek: $V_{,\mu }$
  • pochodna cząstkowa 2-go rzędu – przecinek: $V_{,\mu \nu }$
  • pochodna kowariantna – średnik: $V_{;\mu }$
• w mechanice kwantowej:
  • pochodna cząstkowa – stylizowana delta: $\partial _{\mu }V$
  • pochodna kowariantna – duża litera $\operatorname {D} {:}$ $\operatorname {D} _{\mu }V$
• w mechanice klasycznej:
  • pochodna cząstkowa – przecinek: $V_{,\mu }$
  • pochodna kowariantna – nabla: $\operatorname {\nabla } _{\mu }V$

Zobacz też

• tensor
• tensor metryczny
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.