Konwencje w teoriach relatywistycznych
Konwencje w teoriach relatywistycznych – konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach, stosowane w teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej).
Konwencja sumacyjna Einsteina
edytujKonwencja sumacyjna Einsteina to skrócony zapis, w którym pomija się znak sumowania jeżeli w wyrażeniu po znaku sumy występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i symbole z indeksami dolnymi lub jeden symbol o tych dwóch indeksach, np. – indeksem sumacyjnym (niemym) jest
Tensor metryczny
edytuj(1) Tensor metryczny danego układu współrzędnych krzywoliniowych:
- – składowe kontrawariantne tensora metrycznego
- – składowe kowariantne tensora metrycznego
(2) Wyznacznik kowariantnego tensora metrycznego tradycyjnie oznacza się literą tj.
(3) Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany macierzą odwrotną do macierzy tensora kowariantnego, tj.
Indeksy greckie
edytujIndeksy oznaczane literami alfabetu greckiego ( itp.) przebiegają wszystkie możliwe wartości, zależnie od wymiaru przestrzeni, w której rozważa się tensory.
a) W czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową, indeksy przebiegają 4 wartości; tradycyjnie używa się liczb z zakresu (lub ), np.
- – składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
- – składowa czasowa
- – składowe przestrzenne
- – składowe kowariantne czterowektora pędu, przy czym:
- – składowa czasowa,
- – składowe przestrzenne
- – składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
b) Ogólnie, dla przestrzeni -wymiarowych indeksy przyjmują wartości, np. ze zbioru lub
Indeksy łacińskie
edytujIndeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego, np. przebiegają zbiór wartości
Tensory indeksowane w ten sposób są tensorami zdefiniowanymi nad przestrzenią 3-wymiarową.
Np.
- – składowe przestrzenne 3-wektora położenia,
- – składowe przestrzenne 3-wektora pędu,
- – składowe przestrzenne tensora napięć-energii,
Podnoszenie/opuszczanie wskaźników
edytuj(1) Aby opuścić wskaźnik wektora (ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z górnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kowariantny
(2) Aby podnieść wskaźnik wektora (lub ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z dolnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kontrawariantny
Pochodna cząstkowa i kowariantna
edytujW układach krzywoliniowych nieortogonalnych sama pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego – dlatego definiuje się tzw. pochodną kowariantną, która ma charakter tensorowy (jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych).
Oznaczenia:
- w teorii względności:
- pochodna cząstkowa 1-go rzędu – przecinek:
- pochodna cząstkowa 2-go rzędu – przecinek:
- pochodna kowariantna – średnik:
- w mechanice kwantowej:
- pochodna cząstkowa – stylizowana delta:
- pochodna kowariantna – duża litera
- w mechanice klasycznej:
- pochodna cząstkowa – przecinek:
- pochodna kowariantna – nabla:
Zobacz też
edytujBibliografia
edytuj- P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
- John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.