Otwórz menu główne

Konwencje w teoriach relatywistycznych

Konwencje w teoriach relatywistycznych – konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach, stosowane w teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej).

Spis treści

Konwencja sumacyjna EinsteinaEdytuj

Konwencja sumacyjna Einsteina to skrócony zapis, w którym pomija się znak sumowania   jeżeli w wyrażeniu po znaku sumy występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i symbole z indeksami dolnymi lub jeden symbol o tych dwóch indeksach, np.   (sumowanie po składowej β).

Tensor metrycznyEdytuj

(1) Tensor metryczny danego układu współrzędnych krzywoliniowych:

  – składowe kontrawariantne tensora metrycznego
  – składowe kowariantne tensora metrycznego

(2) Wyznacznik kowariantnego tensora metrycznego   tradycyjnie oznacza się literą   tj.

 

(3) Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany macierzą odwrotną do macierzy tensora kowariantnego, tj.

 

Indeksy greckieEdytuj

Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego (  itp.) przebiegają wszystkie możliwe wartości, zależnie od wymiaru   przestrzeni, w której rozważa się tensory.

a) W czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową, indeksy przebiegają 4 wartości; tradycyjnie używa się liczb z zakresu   (lub  ), np.

  •  składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
    •  - składowa czasowa
    •  - składowe przestrzenne
  •   – składowe kowariantne czterowektora pędu, przy czym:
    •  - składowa czasowa,
    •  - składowe przestrzenne

b) Ogólnie, dla przestrzeni  -wymiarowych indeksy przyjmują   wartości, np. ze zbioru   lub  

Indeksy łacińskieEdytuj

Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego, np.   przebiegają zbiór wartości  

Tensory indeksowane w ten sposób są tensorami zdefiniowanymi nad przestrzenią 3-wymiarową.

Np.

  – składowe przestrzenne 3-wektora położenia,  
  – składowe przestrzenne 3-wektora pędu,  
  – składowe przestrzenne tensora napięć-energii,  

Podnoszenie/opuszczanie wskaźnikówEdytuj

(1) Aby opuścić wskaźnik wektora (ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z górnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kowariantny

 

(2) Aby podnieść wskaźnik wektora (lub ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z dolnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kontrawariantny

 

Pochodna cząstkowa i kowariantnaEdytuj

W układach krzywoliniowych nieortogonalnych sama pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego – dlatego definiuje się tzw. pochodną kowariantną, która ma charakter tensorowy (jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych).

Oznaczenia:

  • w teorii względności:
    • pochodna cząstkowa 1-go rzędu – przecinek:  
    • pochodna cząstkowa 2-go rzędu – przecinek:  
    • pochodna kowariantna – średnik:  
  • w mechanice kwantowej:
    • pochodna cząstkowa – stylizowana delta:  
    • pochodna kowariantna – duża litera  :  
  • w mechanice klasycznej:
    • pochodna cząstkowa – przecinek:  
    • pochodna kowariantna – nabla:  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
  • John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.