Kostka Mengera

bryła fraktalna

Kostka Mengera, gąbka Mengerabryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

Kostka Mengera po 4 iteracjach IFS
Animacja kostki Mengera w czasie proporcjonalnym do stopnia rekurencji (1-4)
Nietrywialna wariacja kostki Mengera nawiązująca do przyrody, polegająca na rekurencyjnym zostawianiu 8 kostek narożnych i jednej środkowej – płatek śniegu Sierpińskiego-Mengera (5 stopni rekurencji). Ten ciekawy trójwymiarowy fraktal posiada dokładnie wymiar Hausdorffa niefraktalnego obiektu rodowicie dwuwymiarowego, np. płaszczyzny, tzn.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

KonstrukcjaEdytuj

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

  1. Dany jest sześcian.
  2. Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian.
  3. Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku.
  4. Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę.

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Poniższy pseudokod, będący rekurencyjną implementacją kostki Mengera, wykorzystywany jest często w wielu językach programowania, przy czym:

  • n – złożoność – liczba całkowita nieujemna,
  • x, y, z – współrzędne środka,
  • d – długość krawędzi:
Menger(n,x,y,z,d):
 jeżeli n=0
  to utwórzSześcian(x,y,z,d)
  w przeciwnym przypadku
   dla i={-1,0,1}
    dla j={-1,0,1}
     dla k={-1,0,1}
      jeżeli (i*i+j*j)*(i*i+k*k)*(j*j+k*k)>0
       to Menger(n-1,x+i*d/3,y+j*d/3,z+k*d/3,d/3)
 
Sześcian
 
1. iteracja
 
2. iteracja
 
3. iteracja
 
4. iteracja
 
5. iteracja

WłasnościEdytuj

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue’a jest równa 0.

Definicje formalneEdytuj

Definicja rekurencyjnaEdytuj

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

 

gdzie   oznacza sześcian  

 

Definicja nierekurencyjnaEdytuj

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób, nie używając rekurencji.

Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów   takich, że   i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych   w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Dokładna kostka SierpińskiegoEdytuj

 
„Galaretkowa” objętościowa animacja dokładnej kostki Sierpińskiego poprzez kroki rekurencji. Aby umożliwić lepszą widoczność, ciemniejsze obszary oznaczają pustą przestrzeń. Wybrane przekroje tnące największą wnękę centralną równolegle do ścian prostopadłościanu są dywanami Sierpińskiego

Kostka Mengera nie jest dokładnym odpowiednikiem kostki Sierpińskiego. Używając dokładnie logiki konstrukcji dwuwymiarowej dywanu w trzech wymiarach, należy z każdą rekurencją usuwać jedynie zmniejszoną kostkę centralną bez kostek bocznych. Inaczej w dywanie należałoby usuwać nie jeden, a pięć kwadratów tworzących razem krzyż grecki. Oczywiście struktura fraktalna takiej kostki nie jest widoczna od razu bez jej przecięcia. Ponieważ liczba elementów wypełniających rośnie teraz o czynnik   przy zachowaniu skali zmniejszania, jest ona prawie trójwymiarowa i jej wymiar Hausdorffa wynosi:

 

W podobny sposób można konstruować inne kostki fraktalne, usuwając w każdym kroku z większych kostek dowolną liczbę   kostek mniejszych w skali   np. kostkę centralną i   kostek narożnych, i w ogólności niesymetrycznie. Większość tak skonstruowanych kostek jest także dziwnymi geometrycznie w przestrzeni trójwymiarowej fraktalami o wymiarze Hausdorffa

 

nie będącym liczbą naturalną.

Jedynie rekurencyjne usuwanie 26 kostek, zostawiając jedną w rogu, zbiega do trywialnego jednego punktu o wymiarze  

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj