Kostka Tichonowa

Kostka Tichonowa – konstrukcja mnogościowa w topologii, będąca przykładem przestrzeni uniwersalnej dla przestrzeni Tichonowa i przestrzeni zwartych.

DefinicjaEdytuj

Kostką Tichonowa   wagi   gdzie   jest nieskończoną liczbą kardynalną, nazywamy przestrzeń produktową

 

gdzie   dla każdego elementu   zbioru   (  jest zbiorem mocy  ).

Kostka   z metryką

 

nazywana jest kostką Hilberta. Metryka   wyznacza topologię w zbiorze   identyczną z topologią Tichonowa (tj. wyjściową topologią kostki Tichonowa o wadze  ).

WłasnościEdytuj

  • Kostka Tichonowa wagi   jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni Tichonowa o wadze nieskończonej wadze  
  • Kostka Tichonowa wagi   jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zwartych o nieskończonej wadze  
  • Z twierdzenia Tichonowa wynika, że każda kostka Tichonowa jest zwarta.
  • Topologia wyznaczona przez metrykę w kostce Hilberta pokrywa się z jej topologią Tichonowa.
  • Inne twierdzenie Tichonowa stwierdza, że każda przestrzeń Tichonowa jest homeomorficzna z podprzestrzenią kostki Tichonowa o wadze równej wadze tej przestrzeni.
  • Kostka Tichonowa (nieskończonej) wagi   jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj