Kowariancja

Kowariancja, – liczba określająca odchylenie elementów od sytuacji idealnej, w której występuje zależność liniowa. Zależność tę określa się między zmiennymi losowymi i

DefinicjaEdytuj

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

 

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

 

gdzie:

 wartość oczekiwana.

InterpretacjaEdytuj

Jeżeli między zmiennymi losowymi   i   nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe   i   są niezależne, a więc

 

zatem:

 

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale   a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

 
 

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy  

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowejEdytuj

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

 

gdzie:

  – współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi   i  
 odchylenie standardowe zmiennej  
  – odchylenie standardowe zmiennej  

Zobacz teżEdytuj