Otwórz menu główne

Kowariancja, – liczba określająca zależność liniową między zmiennymi losowymi X i Y.

DefinicjaEdytuj

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

 .

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

 
gdzie:   jest wartością oczekiwaną.

InterpretacjaEdytuj

Jeżeli między zmiennymi losowymi X i Y nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe X i Y są niezależne, a więc

 

zatem:

 

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład, jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale [0,2π], a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

 
 

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy  .

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowejEdytuj

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

 

gdzie:

  •   to współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi   i  
  •   to odchylenie standardowe zmiennej  
  •   to odchylenie standardowe zmiennej  

Zobacz teżEdytuj