Otwórz menu główne

Spis treści

Czerwony romb jest supremum niebieskiego zbioru

Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistychEdytuj

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru   nazywamy liczbę   spełniającą:

  dla wszystkich elementów  

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru   nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę   spełniającą:

  •   jest ograniczeniem górnym zbioru  
  • jeśli   jest ograniczeniem górnym zbioru   to  

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru   oznaczamy   kres dolny  

Zapisy   oraz   oznaczają, że   jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

WłasnościEdytuj

  • Każdy niepusty podzbiór   ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
  • Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
  • Przypuśćmy że   jest niepustym zbiorem oraz   wówczas
      wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz  
      wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz  
  • Jeżeli   oraz oznaczymy   to:
     
     

PrzykładyEdytuj

  • Niech   Wówczas:
  ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.
  ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.
  • Niech   Wówczas:
  bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.
  bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech   Wówczas podobnie jak dla zbioru     oraz  
  • Niech   Wówczas:
  gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech   Wówczas:
   bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanychEdytuj

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech   Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element   nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru   jeśli:

 

Element   nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru   jeśli:

 

Element   jest kresem górnym (supremum) zbioru   jeśli   jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych   tzn.

  jest ograniczeniem górnym zbioru  
jeśli   jest ograniczeniem górnym zbioru   to  

Element   jest kresem dolnym (infimum) zbioru   jeśli   jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych   tzn.

  jest ograniczeniem dolnym zbioru  
jeśli   jest ograniczeniem dolnym zbioru   to  

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór   ma kres górny, to porządek   nazywa się zupełnym.

WłasnościEdytuj

  • Każdy element zbioru   jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru   a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru   (o ile takie istnieją w zbiorze  ).
  • Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia   i   odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru   są jednoznaczne.
  • Jeśli   jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy   taki że   i obcięcie   zgadza się z   oraz   jest gęstym podzbiorem   Porządek   jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
  • Jeśli   jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór   ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór   ma kres dolny.

PrzykładyEdytuj

  • Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych   z porządkiem naturalnym i zbiór   to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
    Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać   i ma oba kresy.
  • Niech   będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór   nie ma w zbiorze   kresu górnego, bowiem   jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru   ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór   nie ma w zbiorze   kresu dolnego.
  • Niech   będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór   ma w zbiorze   kres górny   podzbiór   ma w zbiorze   kres dolny  
  • Niech   będzie algebrą Boole’a i niech   będzie porządkiem boole’owskim na   (tzn. dla   wtedy i tylko wtedy, gdy  ).
    • Kres górny niepustego zbioru   (jeśli istnieje) jest oznaczany przez   i bywa nazywany sumą zbioru  . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski   jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
    • Kres dolny niepustego zbioru   (jeśli istnieje) jest oznaczany przez   i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru  . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a  
      każdy niepusty podzbiór   ma kres górny (tzn. sumę),
      każdy niepusty podzbiór   ma kres dolny (tzn. produkt).
    • Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli   to
        oraz  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 112–122, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 59–61. ISBN 83-01-00756-7.