Otwórz menu główne

Kryteria zbieżności szeregów

Warunek koniecznyEdytuj

Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności:

Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, to

 [1].

Przez prawo kontrapozycji, jeżeli granica ciągu   nie istnieje bądź istnieje i jest różna od   to szereg (A) jest rozbieżny.

Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg nie jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.

Przykłady
  • Szereg
 
jest rozbieżny, gdyż
 
  • W przypadku, gdy
 
warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, szereg harmoniczny jest rozbieżny, tj.
 
mimo że
 [2].
Szereg
 
jest jednak zbieżny (zob. problem bazylejski), choć w tym przypadku również
 

Warunek Cauchy’egoEdytuj

Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego; zbieżność szeregu (A) oznacza zbieżność ciągu sum częściowych

 

Oznacza to, że szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

 [3].

Zbieżność bezwzględnaEdytuj

Szereg (A) nazywany jest zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg

 
(│A│)
Twierdzenie
Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny[4].
Dowód
Załóżmy, że szereg (│A│) jest zbieżny. Spełnia on wówczas warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby   istnieje taka liczba naturalna   że dla   oraz dowolnego  
 
Z nierówności trójkąta wynika, że
 
a zatem szereg (A) także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

Szeregi o wyrazach nieujemnychEdytuj

Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.

Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu (A) są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.

 

i takie założenie jest niżej poczynione.

Kryterium porównawczeEdytuj

Osobny artykuł: kryterium porównawcze.

Niech

 
(B)

będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie   że dla wszelkich   zachodzi nierówność

 

Wówczas

  1. jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to szereg (A) jest również zbieżny;
  2. jeżeli szereg (A) jest rozbieżny, to szereg (B) jest również rozbieżny[5].
Wersja graniczna

Pod założeniem,   jeżeli istnieje granica

 
  • gdy   to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
  • gdy   to z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B)[6].
Wersja ułamkowa

Pod założeniem,   jeżeli dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność

 

ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) (a więc z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B))[7].

Kryterium d’AlembertaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium d’Alemberta.

Niech

 
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest rozbieżny[8].
Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

 

to

  • gdy   szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy   szereg (A) jest rozbieżny[8].

Kryterium Cauchy’egoEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Cauchy’ego.
  • Jeżeli
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli
 
to szereg (A) jest rozbieżny[9].
Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

 

to

  • gdy   szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy   szereg (A) jest rozbieżny[9].

Kryterium RaabegoEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Raabego.

Niech

 
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) rozbieżny[10][11].

Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

  • Jeżeli
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli dla prawie wszystkich     to szereg (A) jest rozbieżny[12].
Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

 

to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy   oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy  [13].

Kryterium SchlömilchaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Schlömilcha.

Niech

 
  • Jeżeli
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność   to szereg (A) jest rozbieżny[14].

Kryterium (Diniego-)KummeraEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Kummera.

Niech   będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

 

Niech ponadto

 
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest rozbieżny[15].
Wersja graniczna

Kryterium Kummera można spotkać również w niecło słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg   jest zbieżny do pewnego   to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy   oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy  [16].

Kryterium BertrandaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Bertranda.

Niech

 

Wówczas

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy
 
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy
 [16][17].
Wersja graniczna

Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg   jest zbieżny do pewnego   to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy   oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy  

W przypadku, gdy   kryterium nie rozstrzyga.

Kryterium GaussaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Gaussa.

Jeżeli istnieją takie liczby     oraz ciąg ograniczony   o tej własności, że dla dostatecznie dużych   zachodzi związek

 

to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy   lub   oraz  
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy   lub   oraz  [18].

Kryterium całkoweEdytuj

Osobny artykuł: kryterium całkowe.

Niech   będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto   dla każdego   Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa

 [19].

Kryterium JermakowaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Jermakowa.

Niech   będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych   tj.   dla pewnego   spełniona jest nierówność

 

to szereg

 

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych   zachodzi nierówność

 

to szereg ten jest rozbieżny[20].

Kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniuEdytuj

Jeżeli ciąg wyrazów szeregu (A) jest nierosnący to szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

 
(C)

W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu (inaczej: kryterium zagęszczania lub konsensacyjne) szereg (C) można zastąpić szeregiem

 

dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej  [21].

Kryterium Schlömilcha o zagęszczaniuEdytuj

Niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych

 

o tej własności, że

 

dla pewnego   oraz wszystkich  

Jeżeli ciąg wyrazów szeregu (A) jest nierosnący, to szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

 [22].

Szeregi o wyrazach dowolnychEdytuj

Kryterium LeibnizaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Leibniza.

Jeżeli ciąg liczbowy   spełnia następujące warunki:

  1.   dla wszystkich  
  2.  
  3. ciąg   jest nierosnący, tj.  

to szereg

 

jest zbieżny.

Kryterium AbelaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Abela.

Niech   będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, a ciąg   jest monotoniczny i ograniczony, to szereg

 

jest zbieżny[23].

Kryterium DirichletaEdytuj

Jeżeli ciąg sum częściowych

 

szeregu (A) jest ograniczony, a   jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do   to szereg

 

jest zbieżny.

Szeregi funkcyjneEdytuj

Osobny artykuł: szereg funkcyjny.

Niech   będzie dowolnym zbiorem oraz niech

 

będzie ciągiem funkcji. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych stosowane do szeregów

 

mogą jedynie rozstrzygać o zbieżności punktowej; nie mówią jednak nic o możliwej zbieżności jednostajnej. Wyszczególnione niżej kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych pozwalają rozstrzygać o tym typie zbieżności.

Niżej

 

oraz

 

są dowolnymi ciągami funkcji.

Kryterium WeierstrassaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Weierstrassa.

Jeżeli dla każdej liczby naturalnej   istnieje taka liczba   że

 

dla każdego elementu   zbioru   oraz szereg liczbowy

 

jest zbieżny, to szereg funkcyjny

 

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze  [24].

Kryterium AbelaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Abela.

Jeśli

  • szereg
 
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze  
  • dla każdego   ze zbioru   ciąg   jest monotoniczny;
  • istnieje taka liczba   że dla prawie każdej liczby naturalnej   oraz wszystkich elementów   zbioru   spełniony jest warunek
 

to szereg funkcyjny

 

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze  [25].

Kryterium DirichletaEdytuj

Jeżeli

  • istnieje taka liczba dodatnia   że dla wszystkich liczb naturalnych   oraz wszystkich elementów   zbioru  
 
  • dla każdego   ze zbioru   ciąg   jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do  

to szereg funkcyjny

 

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze  [26].

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj