Kryterium Eisensteina

Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna[1]) – kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo, sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem jest Schönemann[1][2], który udowodnił je w 1846[1].

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech   będzie jego ciałem ułamków. Niech

 

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia   Jeśli istnieje element pierwszy   taki, że

  oraz  

to wielomian   jest nierozkładalny w pierścieniu  

Szczególny przypadekEdytuj

Jeśli   jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

PrzykładyEdytuj

  • Wielomian   jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla  
  • Jeśli   jest liczbą pierwszą, to wielomian
 

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

 

gdzie   oznacza symbole Newtona, na przykład  

Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez   ale   nie dzieli   zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

PrzypisyEdytuj

  1. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s. 316.
  2. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 878-83-01-14388-6; s. 222–223.

BibliografiaEdytuj